Упр.23.23 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Пусть x_1 и x_2 — корни квадратного уравнения x^2-4v3x-(1+v3)=0. Не решая уравнение, вычислите x_1^2x_2+x_1x_2^2. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение имеет действительные корни:
а) (p-2)x^2-(2p-1)x+p+2=0; б) (p-1)x^2-(2p-3)x+p+1=0.

1. а) Для уравнения $$x^2+2\sqrt{3}x-4=0$$ по теореме Виета имеем:

   $$x_1+x_2=-2\sqrt{3}, \qquad x_1x_2=-4.$$

   Тогда

   $$ x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-3x_1x_2=(x_1+x_2)^2-5x_1x_2. $$

   Подставим значения:

   $$ (-2\sqrt{3})^2-5\cdot(-4)=12+20=32. $$

2. б) Для уравнения $$x^2-4\sqrt{3}x-(1+\sqrt{3})=0$$ по теореме Виета:

   $$x_1+x_2=4\sqrt{3}, \qquad x_1x_2=-(1+\sqrt{3}).$$

   Искомое выражение:

   $$ x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2). $$

   Тогда

   $$ x_1x_2(x_1+x_2)=-(1+\sqrt{3})\cdot 4\sqrt{3}=-4\sqrt{3}-12. $$

3. а) Уравнение $$ (p-2)x^2-(2p-1)x+p+2=0 $$ имеет действительные корни, если $$D\ge 0$$:

   $$ D=(2p-1)^2-4(p-2)(p+2)\ge 0. $$

   $$ 4p^2-4p+1-4(p^2-4)\ge 0 $$

   $$ 4p^2-4p+1-4p^2+16\ge 0 $$

   $$ -4p+17\ge 0,\qquad p\le \frac{17}{4}. $$

4. б) Уравнение $$ (p-1)x^2-(2p-3)x+p+1=0 $$ имеет действительные корни, если $$D\ge 0$$:

   $$ D=(2p-3)^2-4(p-1)(p+1)\ge 0. $$

   $$ 4p^2-12p+9-4(p^2-1)\ge 0 $$

   $$ 4p^2-12p+9-4p^2+4\ge 0 $$

   $$ -12p+13\ge 0,\qquad p\le \frac{13}{12}. $$

Ответ

а) $$32$$; б) $$-12-4\sqrt{3}$$; для действительных корней: а) $$p\le \frac{17}{4}$$, б) $$p\le \frac{13}{12}$$.