Упр.23.23 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) Для уравнения $$x^2+2\sqrt{3}x-4=0$$ по теореме Виета имеем:

   $$x_1+x_2=-2\sqrt{3}, \qquad x_1x_2=-4.$$

   Тогда

   $$x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-3x_1x_2=(x_1+x_2)^2-5x_1x_2.$$

   Подставим значения:

   $$(-2\sqrt{3})^2-5\cdot(-4)=12+20=32.$$

2. б) Для уравнения $$x^2-4\sqrt{3}x-(1+\sqrt{3})=0$$ по теореме Виета:

   $$x_1+x_2=4\sqrt{3}, \qquad x_1x_2=-(1+\sqrt{3}).$$

   Искомое выражение:

   $$x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2).$$

   Тогда

   $$x_1x_2(x_1+x_2)=-(1+\sqrt{3})\cdot 4\sqrt{3}=-4\sqrt{3}-12.$$

3. а) Уравнение $$(p-2)x^2-(2p-1)x+p+2=0$$ имеет действительные корни, если $$D\ge 0$$:

   $$D=(2p-1)^2-4(p-2)(p+2)\ge 0.$$

   $$4p^2-4p+1-4(p^2-4)\ge 0$$

   $$4p^2-4p+1-4p^2+16\ge 0$$

   $$-4p+17\ge 0,\qquad p\le \frac{17}{4}.$$

4. б) Уравнение $$(p-1)x^2-(2p-3)x+p+1=0$$ имеет действительные корни, если $$D\ge 0$$:

   $$D=(2p-3)^2-4(p-1)(p+1)\ge 0.$$

   $$4p^2-12p+9-4(p^2-1)\ge 0$$

   $$4p^2-12p+9-4p^2+4\ge 0$$

   $$-12p+13\ge 0,\qquad p\le \frac{13}{12}.$$

Ответ

а) $$32$$; б) $$-12-4\sqrt{3}$$; для действительных корней: а) $$p\le \frac{17}{4}$$, б) $$p\le \frac{13}{12}$$.