Упр.23.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
б) Известно, что функция y=f(x) — нечётная и ограничена сверху при x<0. Верно ли, что при x>0 она ограничена снизу? Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 1/2^(1/3); в) 2/4^(1/3); д) 5/5^(1/3);
б) 7/7^(1/3); г) 1/3^(1/3); е) 6/9^(1/3).
а) Если функция $$y=f(x)$$ нечётная, то для любого $$x$$ выполняется $$f(-x)=-f(x)$$.
Пусть при $$x<0$$ функция ограничена сверху, то есть существует число $$M$$ такое, что $$f(x)\le M$$ при всех $$x<0$$.
Тогда для $$x>0$$ имеем $$-x<0$$, значит $$f(-x)\le M$$. Умножая на $$-1$$, получаем
$$f(x)\ge -M.$$
Следовательно, при $$x>0$$ функция ограничена снизу, а не сверху.
Ответ: нет.
б) Аналогично, если при $$x<0$$ функция ограничена сверху, то при $$x>0$$ она ограничена снизу.
Ответ: да.
Убрать иррациональность в знаменателе:
а) $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2};$$
б) $$\frac{7}{\sqrt[3]{7}}=\frac{7\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^3}}=\frac{7\sqrt[3]{49}}{7}=\sqrt[3]{49};$$
в) $$\frac{2}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{2};$$
г) $$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{3};$$
д) $$\frac{5}{\sqrt[3]{5}}=\frac{5\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{5\sqrt[3]{25}}{5}=\sqrt[3]{25};$$
е) $$\frac{6}{\sqrt[3]{9}}=\frac{6\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6\sqrt[3]{3}}{3}=2\sqrt[3]{3}.$$
Ответ
а) нет; б) да; а) $$\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$; б) $$\sqrt[3]{49}$$; в) $$\sqrt[3]{2}$$; г) $$\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$$; д) $$\sqrt[3]{25}$$; е) $$2\sqrt[3]{3}$$.
