Упр.23.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. а) Известно, что функция $$y=f(x)$$ — нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$. Верно ли, что при $$x>0$$ она ограничена сверху? б) Известно, что функция $$y=f(x)$$ — нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$. Верно ли, что при $$x>0$$ она ограничена снизу?
2. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) $$\frac{1}{2^{1/3}}$$; б) $$\frac{7}{7^{1/3}}$$; в) $$\frac{2}{4^{1/3}}$$; г) $$\frac{1}{3^{1/3}}$$; д) $$\frac{5}{5^{1/3}}$$; е) $$\frac{6}{9^{1/3}}$$.

1. а) Если функция $$y=f(x)$$ нечётная, то для любого $$x$$ выполняется $$f(-x)=-f(x)$$.

   Пусть при $$x<0$$ функция ограничена сверху, то есть существует число $$M$$ такое, что $$f(x)\le M$$ при всех $$x<0$$.

   Тогда для $$x>0$$ имеем $$-x<0$$, значит $$f(-x)\le M$$. Умножая на $$-1$$, получаем

   $$f(x)\ge -M.$$

   Следовательно, при $$x>0$$ функция ограничена снизу, а не сверху.

   Ответ: нет.

2. б) Аналогично, если при $$x<0$$ функция ограничена сверху, то при $$x>0$$ она ограничена снизу.

   Ответ: да.

3. Убрать иррациональность в знаменателе:

   а) $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}=\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{\sqrt[3]{4}}{2};$$

   б) $$\frac{7}{\sqrt[3]{7}}=\frac{7\sqrt[3]{7^2}}{\sqrt[3]{7^3}}=\frac{7\sqrt[3]{49}}{7}=\sqrt[3]{49};$$

   в) $$\frac{2}{\sqrt[3]{4}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{2\sqrt[3]{2}}{2}=\sqrt[3]{2};$$

   г) $$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}=\frac{\sqrt[3]{3^2}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{\sqrt[3]{9}}{3};$$

   д) $$\frac{5}{\sqrt[3]{5}}=\frac{5\sqrt[3]{5^2}}{\sqrt[3]{5^3}}=\frac{5\sqrt[3]{25}}{5}=\sqrt[3]{25};$$

   е) $$\frac{6}{\sqrt[3]{9}}=\frac{6\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{6\sqrt[3]{3}}{3}=2\sqrt[3]{3}.$$

Ответ

а) нет; б) да; а) $$\frac{\sqrt[3]{4}}{2}$$; б) $$\sqrt[3]{49}$$; в) $$\sqrt[3]{2}$$; г) $$\frac{\sqrt[3]{9}}{3}$$; д) $$\sqrt[3]{25}$$; е) $$2\sqrt[3]{3}$$.