Упр.22.9 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) y=-2x^3-x; г) y=-3x^3-2x;
б) y=x^6-3x, x?0; д) y=-2x^6-5x, x?0;
в) y=(x+9)/(x+3), x>-3; е) y=(3-2x)/(1-x), x<1. Исследуйте функцию на монотонность:
а) y=-x^3-11; г) y=x^3/7+8;
б) y=(x-14)^3+2; д) y=-(x+4)^3-12;
в) y=-(x+v3)^3-3v3; е) y=(x-v5)^3+2v5.
Докажем, что функция убывает.
а) $$y=-2x^3-x$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит $$-2x_2^3<-2x_1^3$$ и $$-x_2<-x_1$$.
Тогда
$$-2x_2^3-x_2<-2x_1^3-x_1.$$
Следовательно, функция убывает.
б) $$y=x^6-3x,\quad x\le 0$$
Если $$x_2>x_1\le 0$$, то $$x_2^6<x_1^6$$ и $$-3x_2<-3x_1$$.
Тогда
$$x_2^6-3x_2<x_1^6-3x_1.$$
Следовательно, функция убывает.
в) $$y=\dfrac{x+9}{x+3},\quad x>-3$$
Преобразуем:
$$y=\dfrac{x+3+6}{x+3}=1+\dfrac{6}{x+3}.$$
Если $$x_2>x_1>-3$$, то $$x_2+3>x_1+3>0$$, значит
$$\dfrac{6}{x_2+3}<\dfrac{6}{x_1+3}.$$
Следовательно, $$y_2<y_1$$, то есть функция убывает.
г) $$y=-3x^3-2x$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит $$-3x_2^3<-3x_1^3$$ и $$-2x_2<-2x_1$$.
Тогда
$$-3x_2^3-2x_2<-3x_1^3-2x_1.$$
Следовательно, функция убывает.
д) $$y=-2x^6-5x,\quad x\ge 0$$
Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^6>x_1^6$$, значит $$-2x_2^6<-2x_1^6$$ и $$-5x_2<-5x_1$$.
Тогда
$$-2x_2^6-5x_2<-2x_1^6-5x_1.$$
Следовательно, функция убывает.
е) $$y=\dfrac{3-2x}{1-x},\quad x<1$$
Преобразуем:
$$y=\dfrac{2x-3}{x-1}=2-\dfrac{1}{x-1}.$$
Если $$x_2>x_1$$ и $$x_1,x_2<1$$, то $$x_2-1>x_1-1$$, причём оба числа отрицательны. Тогда
$$\dfrac{1}{x_2-1}>\dfrac{1}{x_1-1},$$
следовательно,
$$2-\dfrac{1}{x_2-1}<2-\dfrac{1}{x_1-1}.$$
Значит, функция убывает.
Исследуем функцию на монотонность.
а) $$y=-x^3-11$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит $$-x_2^3<-x_1^3$$.
Следовательно, $$-x_2^3-11<-x_1^3-11$$, то есть функция убывает.
б) $$y=(x-14)^3+2$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2-14>x_1-14$$, значит
$$ (x_2-14)^3>(x_1-14)^3.$$
Тогда
$$ (x_2-14)^3+2>(x_1-14)^3+2.$$
Следовательно, функция возрастает.
в) $$y=-(x+\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2+\sqrt{3}>x_1+\sqrt{3}$$, значит
$$ (x_2+\sqrt{3})^3>(x_1+\sqrt{3})^3.$$
Тогда
$$-(x_2+\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}<-(x_1+\sqrt{3})^3-3\sqrt{3}.$$
Следовательно, функция убывает.
г) $$y=\dfrac{x^3}{7}+8$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
$$\dfrac{x_2^3}{7}>\dfrac{x_1^3}{7}.$$
Тогда
$$\dfrac{x_2^3}{7}+8>\dfrac{x_1^3}{7}+8.$$
Следовательно, функция возрастает.
д) $$y=-(x+4)^3-12$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2+4>x_1+4$$, значит
$$ (x_2+4)^3>(x_1+4)^3.$$
Тогда
$$-(x_2+4)^3-12<-(x_1+4)^3-12.$$
Следовательно, функция убывает.
е) $$y=(x-\sqrt{5})^3+2\sqrt{5}$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2-\sqrt{5}>x_1-\sqrt{5}$$, значит
$$ (x_2-\sqrt{5})^3>(x_1-\sqrt{5})^3.$$
Тогда
$$ (x_2-\sqrt{5})^3+2\sqrt{5}>(x_1-\sqrt{5})^3+2\sqrt{5}.$$
Следовательно, функция возрастает.
Ответ
1) а) убывает; б) убывает; в) убывает; г) убывает; д) убывает; е) убывает.
2) а) убывает; б) возрастает; в) убывает; г) возрастает; д) убывает; е) возрастает.
