Упр.22.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) y=|x|+9, x?0;
б) y=-|x+3|-1, x?-3;
в) y=5|x-1|+4, x?1;
г) y=-|x|-12, x?0;
д) y=|x-8|+3, x?8;
е) y=-4|x+5|-2, x?-5. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция убывает:
а) y=-3x^3; г) y=-x^3/4;
б) y=-x^3+12; д) y=-x^3-17;
в) y=-(x+8)^3-9; е) y=-(x-6)^3+2.

Подробный ответ

Докажем убывание функции по определению: если при $$x_2>x_1$$ выполняется $$f(x_2)<f(x_1),$$ то функция убывает.

$$y=|x|+9,\quad x\le 0.$$
Если $$x_1<x_2\le 0,$$ то $$|x_2|<|x_1|,$$ значит
$$|x_2|+9<|x_1|+9.$$
$$y=-|x+3|-1,\quad x\ge -3.$$
Если $$x_2>x_1\ge -3,$$ то $$x_2+3>x_1+3\ge 0,$$ поэтому
$$|x_2+3|>|x_1+3|,$$
следовательно,
$$-|x_2+3|-1<-|x_1+3|-1.$$
$$y=5|x-1|+4,\quad x\le 1.$$
Если $$x_1<x_2\le 1,$$ то $$x_1-1<x_2-1\le 0,$$ значит
$$|x_2-1|<|x_1-1|,$$
и потому
$$5|x_2-1|+4<5|x_1-1|+4.$$
$$y=-|x|-12,\quad x\ge 0.$$
Если $$x_2>x_1\ge 0,$$ то $$|x_2|>|x_1|,$$ следовательно
$$-|x_2|<-|x_1|,$$
а значит
$$-|x_2|-12<-|x_1|-12.$$
$$y=|x-8|+3,\quad x\le 8.$$
Если $$x_1<x_2\le 8,$$ то $$x_1-8<x_2-8\le 0,$$ значит
$$|x_2-8|<|x_1-8|,$$
и потому
$$|x_2-8|+3<|x_1-8|+3.$$
$$y=-4|x+5|-2,\quad x\ge -5.$$
Если $$x_2>x_1\ge -5,$$ то $$x_2+5>x_1+5\ge 0,$$ значит
$$|x_2+5|>|x_1+5|,$$
следовательно,
$$-4|x_2+5|-2<-4|x_1+5|-2.$$

Аналогично доказывается убывание функций вида $$y=ax^3+b$$ при $$a<0$$.

$$y=-3x^3.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$x_2^3>x_1^3,$$ значит
$$-3x_2^3<-3x_1^3.$$
$$y=-x^3+12.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$x_2^3>x_1^3,$$ значит
$$-x_2^3<-x_1^3,$$
следовательно,
$$-x_2^3+12<-x_1^3+12.$$
$$y=-(x+8)^3-9.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$x_2+8>x_1+8,$$ значит
$$ (x_2+8)^3>(x_1+8)^3,$$
следовательно,
$$-(x_2+8)^3-9<-(x_1+8)^3-9.$$
$$y=-\dfrac{x^3}{4}.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$x_2^3>x_1^3,$$ значит
$$-\dfrac{x_2^3}{4}<-\dfrac{x_1^3}{4}.$$
$$y=-x^3-17.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$x_2^3>x_1^3,$$ значит
$$-x_2^3<-x_1^3,$$
следовательно,
$$-x_2^3-17<-x_1^3-17.$$
$$y=-(x-6)^3+2.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$x_2-6>x_1-6,$$ значит
$$ (x_2-6)^3>(x_1-6)^3,$$
следовательно,
$$-(x_2-6)^3+2<-(x_1-6)^3+2.$$