Упр.22.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=-3x^2, x?0;
б) y=(x-5)^2, x?5;
в) y=-2v(x-12)+8;
г) y=5x^2, x?0;
д) y=-(x+11)^2, x?-11;
е) y=-7v(x+16)-4. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что функция возрастает:
а) y=x^3/3; г) y=2x^3;
б) y=x^3-4; д) y=x^3+6;
в) y=(x-7)^3+1; е) y=(x+11)^3-8.

Докажем монотонность функций, сравнивая значения при $$x_2>x_1$$.

Функция убывает:

1. $$y=-3x^2,\quad x\ge 0$$
   
   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^2>x_1^2$$, значит
   $$-3x_2^2<-3x_1^2.$$
   Следовательно, функция убывает.
2. $$y=(x-5)^2,\quad x\le 5$$
   
   Если $$x_1<x_2\le 5$$, то $$x_1-5<x_2-5\le 0$$, а значит
   $$(x_2-5)^2<(x_1-5)^2.$$
   Следовательно, функция убывает.
3. $$y=-2\sqrt{x-12}+8,\quad x\ge 12$$
   
   Если $$x_2>x_1\ge 12$$, то $$x_2-12>x_1-12\ge 0$$, значит
   $$\sqrt{x_2-12}>\sqrt{x_1-12}.$$
   Тогда
   $$-2\sqrt{x_2-12}<-2\sqrt{x_1-12},$$
   откуда
   $$-2\sqrt{x_2-12}+8<-2\sqrt{x_1-12}+8.$$
   Следовательно, функция убывает.
4. $$y=5x^2,\quad x\le 0$$
   
   Если $$x_1<x_2\le 0$$, то $$x_2^2<x_1^2$$, значит
   $$5x_2^2<5x_1^2.$$
   Следовательно, функция убывает.
5. $$y=-(x+11)^2,\quad x\ge -11$$
   
   Если $$x_2>x_1\ge -11$$, то $$x_2+11>x_1+11\ge 0$$, значит
   $$(x_2+11)^2>(x_1+11)^2.$$
   Тогда
   $$-(x_2+11)^2<-(x_1+11)^2.$$
   Следовательно, функция убывает.
6. $$y=-7\sqrt{x+16}-4,\quad x\ge -16$$
   
   Если $$x_2>x_1\ge -16$$, то $$x_2+16>x_1+16\ge 0$$, значит
   $$\sqrt{x_2+16}>\sqrt{x_1+16}.$$
   Тогда
   $$-7\sqrt{x_2+16}<-7\sqrt{x_1+16},$$
   откуда
   $$-7\sqrt{x_2+16}-4<-7\sqrt{x_1+16}-4.$$
   Следовательно, функция убывает.

Функция возрастает:

1. $$y=\frac{x^3}{3}$$
   
   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
   $$\frac{x_2^3}{3}>\frac{x_1^3}{3}.$$
   Следовательно, функция возрастает.
2. $$y=x^3-4$$
   
   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
   $$x_2^3-4>x_1^3-4.$$
   Следовательно, функция возрастает.
3. $$y=(x-7)^3+1$$
   
   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2-7>x_1-7$$, значит
   $$(x_2-7)^3>(x_1-7)^3.$$
   Тогда
   $$(x_2-7)^3+1>(x_1-7)^3+1.$$
   Следовательно, функция возрастает.
4. $$y=2x^3$$
   
   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
   $$2x_2^3>2x_1^3.$$
   Следовательно, функция возрастает.
5. $$y=x^3+6$$
   
   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит
   $$x_2^3+6>x_1^3+6.$$
   Следовательно, функция возрастает.
6. $$y=(x+11)^3-8$$
   
   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2+11>x_1+11$$, значит
   $$(x_2+11)^3>(x_1+11)^3.$$
   Тогда
   $$(x_2+11)^3-8>(x_1+11)^3-8.$$
   Следовательно, функция возрастает.

Ответ

Убывают функции: $$y=-3x^2$$ при $$x\ge 0$$, $$y=(x-5)^2$$ при $$x\le 5$$, $$y=-2\sqrt{x-12}+8$$ при $$x\ge 12$$, $$y=5x^2$$ при $$x\le 0$$, $$y=-(x+11)^2$$ при $$x\ge -11$$, $$y=-7\sqrt{x+16}-4$$ при $$x\ge -16$$.

Возрастают функции: $$y=\frac{x^3}{3}$$, $$y=x^3-4$$, $$y=(x-7)^3+1$$, $$y=2x^3$$, $$y=x^3+6$$, $$y=(x+11)^3-8$$.