Упр.22.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция убывает: а) $$y=-2x+3$$; г) $$y=-3x-4$$; б) $$y=-\frac{1}{3}x-5$$; д) $$y=-\frac{3}{5}x+4$$; в) $$y=\frac{1}{x}$$, $$x>0$$; е) $$y=\frac{4}{x}$$, $$x<0$$.
- Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=-(x-2)^2+1$$. а) Найдите $$f(0)$$, $$f(2)$$, $$f(3)$$; б) решите уравнение $$f(x)=9$$; в) решите неравенство $$f(x)?0$$; г) найдите промежутки, на которых функция выпукла вверх, выпукла вниз.
Докажем убывание функций, используя свойство числовых неравенств: если $$x_2>x_1,$$ то при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется.
$$y=-2x+3.$$
Если $$x_2>x_1,$$ то $$-2x_2<-2x_1,$$ значит
$$-2x_2+3<-2x_1+3.$$
Следовательно, функция убывает.
$$y=-\frac13x-5.$$
Если $$x_2>x_1,$$ то $$-\frac13x_2<-\frac13x_1,$$ значит
$$-\frac13x_2-5<-\frac13x_1-5.$$
Следовательно, функция убывает.
$$y=\frac1x,\quad x>0.$$
Если $$x_2>x_1>0,$$ то для положительных чисел при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется:
$$\frac1{x_2}<\frac1{x_1}.$$
Следовательно, функция убывает на $$x>0.$$
$$y=-3x-4.$$
Если $$x_2>x_1,$$ то $$-3x_2<-3x_1,$$ значит
$$-3x_2-4<-3x_1-4.$$
Следовательно, функция убывает.
$$y=-\frac35x+4.$$
Если $$x_2>x_1,$$ то $$-\frac35x_2<-\frac35x_1,$$ значит
$$-\frac35x_2+4<-\frac35x_1+4.$$
Следовательно, функция убывает.
$$y=\frac4x,\quad x<0.$$
Если $$x_1<x_2<0,$$ то для отрицательных чисел при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется:
$$\frac1{x_2}<\frac1{x_1}.$$
Умножая на положительное число $$4,$$ получаем
$$\frac4{x_2}<\frac4{x_1}.$$
Следовательно, функция убывает на $$x<0.$$
Дана функция $$f(x)=-(x-2)^2+1.$$
Найдём значения функции:
$$f(0)=-(0-2)^2+1=-4+1=-3,$$
$$f(2)=-(2-2)^2+1=0+1=1,$$
$$f(3)=-(3-2)^2+1=-1+1=0.$$
Решим уравнение $$f(x)=9$$:
$$-(x-2)^2+1=9$$
$$-(x-2)^2=8$$
$$(x-2)^2=-8.$$
Квадрат числа не может быть отрицательным, значит корней нет.
Решим неравенство $$f(x)\ge 0$$:
$$-(x-2)^2+1\ge 0$$
$$(x-2)^2\le 1$$
$$-1\le x-2\le 1$$
$$1\le x\le 3.$$
Так как $$f(x)=-(x-2)^2+1,$$ ветви параболы направлены вниз, значит функция выпукла вниз на всей области определения и не выпукла вверх ни на каком промежутке.
Ответ
Функции из первой части убывают. Для $$f(x)=-(x-2)^2+1$$: а) $$f(0)=-3,$$ $$f(2)=1,$$ $$f(3)=0;$$ б) корней нет; в) $$x\in[1;3];$$ г) выпукла вниз на $$\mathbb{R},$$ выпукла вверх не бывает.
