Упр.22.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) y=x^3+3x; г) y=2x^3+x;
б) y=x^4+x^2, x?0; д) y=3x^4+4x, x?0;
в) y=2x^4+x^3+3x, x?0; е) y=3x^4+2x^2+4x, x?0. Дана функция y=f(x), где f(x)=(x+1)^2-2.
а) Найдите f(-3), f(0), f(1);
б) решите уравнение f(x)=-10;
в) решите неравенство f(x)?0;
г) найдите промежутки, на которых функция выпукла вверх, выпукла вниз.
1) Докажем возрастание функций.
$$y=x^3+3x$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$ и $$3x_2>3x_1$$. Тогда
$$x_2^3+3x_2>x_1^3+3x_1.$$
Значит, функция возрастает.
$$y=x^4+x^2,\quad x\ge 0$$
Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$ и $$x_2^2>x_1^2$$. Следовательно,
$$x_2^4+x_2^2>x_1^4+x_1^2.$$
Функция возрастает на $$x\ge 0$$.
$$y=2x^4+x^3+3x,\quad x\ge 0$$
Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$, $$x_2^3>x_1^3$$, $$3x_2>3x_1$$. Тогда
$$2x_2^4+x_2^3+3x_2>2x_1^4+x_1^3+3x_1.$$
Функция возрастает на $$x\ge 0$$.
$$y=2x^3+x$$
Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит $$2x_2^3>2x_1^3$$, а также $$x_2>x_1$$. Следовательно,
$$2x_2^3+x_2>2x_1^3+x_1.$$
Функция возрастает.
$$y=3x^4+4x,\quad x\ge 0$$
Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$ и $$4x_2>4x_1$$. Тогда
$$3x_2^4+4x_2>3x_1^4+4x_1.$$
Функция возрастает на $$x\ge 0$$.
$$y=3x^4+2x^2+4x,\quad x\ge 0$$
Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$, $$x_2^2>x_1^2$$, $$4x_2>4x_1$$. Следовательно,
$$3x_2^4+2x_2^2+4x_2>3x_1^4+2x_1^2+4x_1.$$
Функция возрастает на $$x\ge 0$$.
2) Дана функция $$f(x)=(x+1)^2-2$$.
а)
$$f(-3)=(-3+1)^2-2=4-2=2$$
$$f(0)=(0+1)^2-2=1-2=-1$$
$$f(1)=(1+1)^2-2=4-2=2$$
б) Решим уравнение $$f(x)=-10$$:
$$ (x+1)^2-2=-10 \\ (x+1)^2=-8 $$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, значит, корней нет.
в) Решим неравенство $$f(x)\ge 0$$:
$$ (x+1)^2-2\ge 0 \\ (x+1)^2\ge 2 \\ |x+1|\ge \sqrt{2} $$
Отсюда
$$x\le -1-\sqrt{2}\quad \text{или}\quad x\ge -1+\sqrt{2}.$$
г) Так как график функции $$y=(x+1)^2-2$$ — парабола, ветви направлены вверх, то функция выпукла вниз на всей области определения и не выпукла вверх ни на каком промежутке.
Ответ
1) Все данные функции возрастают на указанных промежутках.
2а) $$f(-3)=2,\ f(0)=-1,\ f(1)=2$$;
2б) корней нет;
2в) $$(-\infty;\,-1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2};\,+\infty)$$;
2г) выпукла вниз на $$\mathbb{R}$$, выпукла вверх — нигде.
