Упр.22.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает: а) $$y=x^3+3x$$; г) $$y=2x^3+x$$; б) $$y=x^4+x^2,\ x\geq 0$$; д) $$y=3x^4+4x,\ x\geq 0$$; в) $$y=2x^4+x^3+3x,\ x\geq 0$$; е) $$y=3x^4+2x^2+4x,\ x\geq 0$$.
2. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=(x+1)^2-2$$. а) Найдите $$f(-3),\ f(0),\ f(1)$$; б) решите уравнение $$f(x)=-10$$; в) решите неравенство $$f(x)\geq 0$$; г) найдите промежутки, на которых функция выпукла вверх, выпукла вниз.

1) Докажем возрастание функций.

1. $$y=x^3+3x$$

   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$ и $$3x_2>3x_1$$. Тогда

   $$x_2^3+3x_2>x_1^3+3x_1.$$

   Значит, функция возрастает.

2. $$y=x^4+x^2,\quad x\ge 0$$

   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$ и $$x_2^2>x_1^2$$. Следовательно,

   $$x_2^4+x_2^2>x_1^4+x_1^2.$$

   Функция возрастает на $$x\ge 0$$.

3. $$y=2x^4+x^3+3x,\quad x\ge 0$$

   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$, $$x_2^3>x_1^3$$, $$3x_2>3x_1$$. Тогда

   $$2x_2^4+x_2^3+3x_2>2x_1^4+x_1^3+3x_1.$$

   Функция возрастает на $$x\ge 0$$.

4. $$y=2x^3+x$$

   Если $$x_2>x_1$$, то $$x_2^3>x_1^3$$, значит $$2x_2^3>2x_1^3$$, а также $$x_2>x_1$$. Следовательно,

   $$2x_2^3+x_2>2x_1^3+x_1.$$

   Функция возрастает.

5. $$y=3x^4+4x,\quad x\ge 0$$

   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$ и $$4x_2>4x_1$$. Тогда

   $$3x_2^4+4x_2>3x_1^4+4x_1.$$

   Функция возрастает на $$x\ge 0$$.

6. $$y=3x^4+2x^2+4x,\quad x\ge 0$$

   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$x_2^4>x_1^4$$, $$x_2^2>x_1^2$$, $$4x_2>4x_1$$. Следовательно,

   $$3x_2^4+2x_2^2+4x_2>3x_1^4+2x_1^2+4x_1.$$

   Функция возрастает на $$x\ge 0$$.

2) Дана функция $$f(x)=(x+1)^2-2$$.

а)

$$f(-3)=(-3+1)^2-2=4-2=2$$

$$f(0)=(0+1)^2-2=1-2=-1$$

$$f(1)=(1+1)^2-2=4-2=2$$

б) Решим уравнение $$f(x)=-10$$:

$$(x+1)^2-2=-10 \\ (x+1)^2=-8$$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, значит, корней нет.

в) Решим неравенство $$f(x)\ge 0$$:

$$(x+1)^2-2\ge 0 \\ (x+1)^2\ge 2 \\ |x+1|\ge \sqrt{2}$$

Отсюда

$$x\le -1-\sqrt{2}\quad \text{или}\quad x\ge -1+\sqrt{2}.$$

г) Так как график функции $$y=(x+1)^2-2$$ — парабола, ветви направлены вверх, то функция выпукла вниз на всей области определения и не выпукла вверх ни на каком промежутке.

Ответ

1) Все данные функции возрастают на указанных промежутках.
2а) $$f(-3)=2,\ f(0)=-1,\ f(1)=2$$;
2б) корней нет;
2в) $$(-\infty;\,-1-\sqrt{2}] \cup [-1+\sqrt{2};\,+\infty)$$;
2г) выпукла вниз на $$\mathbb{R}$$, выпукла вверх — нигде.