Упр.22.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=-3/x, x>0; г) y=-6/x, x>0;
б) y=-4/(x+1), x>-1; д) y=-2/(x-4), x>4;
в) y=-5/(x-5)+5, x>5; е) y=-1/(x+2)-4, x>-2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x), если:
а) f(x)=x^3+1, x?[-2; 1];
б) f(x)=-(x+1)^3-3, x?[-1; +?);
в) f(x)=(x-4)^3+3, x?(2; 5];
г) f(x)=x^3-2, x?(-1; 2];
д) f(x)=-(x-2)^3+1, x?(-?; 3];
е) f(x)=(x+3)^3-1, x?[-4; -1].

1) Докажем, что функция возрастает.

1. $$y=-\frac{3}{x}, \quad x>0.$$
   
   Если $$x_2>x_1>0,$$ то
   $$\frac{3}{x_2}<\frac{3}{x_1},$$
   значит,
   $$-\frac{3}{x_2}>-\frac{3}{x_1}.$$
   Следовательно, функция возрастает.
2. $$y=-\frac{4}{x+1}, \quad x>-1.$$
   
   Если $$x_2>x_1>-1,$$ то
   $$x_2+1>x_1+1>0,$$
   поэтому
   $$\frac{4}{x_2+1}<\frac{4}{x_1+1},$$
   а значит,
   $$-\frac{4}{x_2+1}>-\frac{4}{x_1+1}.$$
   Следовательно, функция возрастает.
3. $$y=-\frac{5}{x-5}+5, \quad x>5.$$
   
   Если $$x_2>x_1>5,$$ то
   $$x_2-5>x_1-5>0,$$
   значит,
   $$\frac{5}{x_2-5}<\frac{5}{x_1-5},$$
   следовательно,
   $$-\frac{5}{x_2-5}+5>-\frac{5}{x_1-5}+5.$$
   Функция возрастает.
4. $$y=-\frac{6}{x}, \quad x>0.$$
   
   Если $$x_2>x_1>0,$$ то
   $$\frac{6}{x_2}<\frac{6}{x_1},$$
   значит,
   $$-\frac{6}{x_2}>-\frac{6}{x_1}.$$
   Следовательно, функция возрастает.
5. $$y=-\frac{2}{x-4}, \quad x>4.$$
   
   Если $$x_2>x_1>4,$$ то
   $$x_2-4>x_1-4>0,$$
   поэтому
   $$\frac{2}{x_2-4}<\frac{2}{x_1-4},$$
   а значит,
   $$-\frac{2}{x_2-4}>-\frac{2}{x_1-4}.$$
   Функция возрастает.
6. $$y=-\frac{1}{x+2}-4, \quad x>-2.$$
   
   Если $$x_2>x_1>-2,$$ то
   $$x_2+2>x_1+2>0,$$
   значит,
   $$\frac{1}{x_2+2}<\frac{1}{x_1+2},$$
   следовательно,
   $$-\frac{1}{x_2+2}-4>-\frac{1}{x_1+2}-4.$$
   Функция возрастает.

2) Найдём наименьшее и наибольшее значения функции.

1. $$f(x)=x^3+1,\quad x\in[-2;1].$$
   
   Функция возрастает на всей области определения, значит:
   $$f(-2)=(-2)^3+1=-8+1=-7,$$
   $$f(1)=1^3+1=2.$$
   Наименьшее значение равно $$-7,$$ наибольшее — $$2.$$
2. $$f(x)=-(x+1)^3-3,\quad x\in[-1;+\infty).$$
   
   Так как $$x+1\ge 0,$$ то $$f(x)$$ убывает. На левом конце:
   $$f(-1)=-(0)^3-3=-3.$$
   При $$x\to+\infty$$ значение функции стремится к $$-\infty,$$ поэтому наибольшего значения нет.
3. $$f(x)=(x-4)^3+3,\quad x\in(2;5].$$
   
   Функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=5$$:
   $$f(5)=(5-4)^3+3=1+3=4.$$
   Наименьшего значения нет, так как $$x=2$$ не входит в промежуток.
4. $$f(x)=x^3-2,\quad x\in(-1;2].$$
   
   Функция возрастает, значит наибольшее значение при $$x=2$$:
   $$f(2)=2^3-2=8-2=6.$$
   Наименьшего значения нет, так как $$x=-1$$ не входит в промежуток.
5. $$f(x)=-(x-2)^3+1,\quad x\in(-\infty;3].$$
   
   Функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при наименьших $$x$$ не ограничено, а наименьшее — при $$x=3$$:
   $$f(3)=-(3-2)^3+1=-1+1=0.$$
   Наибольшего значения нет.
6. $$f(x)=(x+3)^3-1,\quad x\in[-4;-1].$$
   
   Функция возрастает, значит:
   $$f(-4)=(-4+3)^3-1=(-1)^3-1=-2,$$
   $$f(-1)=(-1+3)^3-1=2^3-1=7.$$
   Наименьшее значение равно $$-2,$$ наибольшее — $$7.$$

Ответ

1) а), б), в), г), д), е) — функция возрастает.
2) а) $$-7$$ и $$2$$; б) наибольшего нет, наименьшее $$-3$$; в) наименьшего нет, наибольшее $$4$$; г) наименьшего нет, наибольшее $$6$$; д) наибольшего нет, наименьшее $$0$$; е) $$-2$$ и $$7$$.