Упр.22.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает:
   а) $$y=\sqrt{x}+1$$; б) $$y=\sqrt{x-4}$$; в) $$y=4\sqrt{x+2}-2$$; г) $$y=\sqrt{x}-2$$; д) $$y=\sqrt{x+5}$$; е) $$y=6\sqrt{x-4}+4$$.
2. Задание учебника 2023 года. Постройте график функции:
   а) $$y=x^3$$; б) $$y=x^3+2$$; в) $$y=(x+1)^3$$; г) $$y=-x^3$$; д) $$y=-x^3-1$$; е) $$y=-(x-2)^3$$.

Функция $$y=\sqrt{x}$$ возрастает на своей области определения $$x\ge 0$$. Поэтому при увеличении аргумента значение корня увеличивается, а прибавление или вычитание числа, а также умножение на положительное число сохраняют возрастание.

1. $$y=\sqrt{x}+1$$

   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$$, значит

   $$\sqrt{x_2}+1>\sqrt{x_1}+1.$$

2. $$y=\sqrt{x-4}$$

   Если $$x_2>x_1\ge 4$$, то $$x_2-4>x_1-4\ge 0$$, значит

   $$\sqrt{x_2-4}>\sqrt{x_1-4}.$$

3. $$y=4\sqrt{x+2}-2$$

   Если $$x_2>x_1\ge -2$$, то $$x_2+2>x_1+2\ge 0$$, значит

   $$\sqrt{x_2+2}>\sqrt{x_1+2}.$$

   Умножая на $$4>0$$ и вычитая $$2$$, получаем

   $$4\sqrt{x_2+2}-2>4\sqrt{x_1+2}-2.$$

4. $$y=\sqrt{x}-2$$

   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$$, значит

   $$\sqrt{x_2}-2>\sqrt{x_1}-2.$$

5. $$y=\sqrt{x+5}$$

   Если $$x_2>x_1\ge -5$$, то $$x_2+5>x_1+5\ge 0$$, значит

   $$\sqrt{x_2+5}>\sqrt{x_1+5}.$$

6. $$y=6\sqrt{x-4}+4$$

   Если $$x_2>x_1\ge 4$$, то $$x_2-4>x_1-4\ge 0$$, значит

   $$\sqrt{x_2-4}>\sqrt{x_1-4}.$$

   Умножая на $$6>0$$ и прибавляя $$4$$, получаем

   $$6\sqrt{x_2-4}+4>6\sqrt{x_1-4}+4.$$

Графики получаются из графика функции $$y=x^3$$ с помощью параллельных переносов и отражения относительно оси $$Ox$$.

1. $$y=x^3$$ — стандартный график кубической функции.

2. $$y=x^3+2$$ — график $$y=x^3$$, сдвинутый вверх на $$2$$.

3. $$y=(x+1)^3$$ — график $$y=x^3$$, сдвинутый влево на $$1$$.

4. $$y=-x^3$$ — отражение графика $$y=x^3$$ относительно оси $$Ox$$.

5. $$y=-x^3-1$$ — график $$y=-x^3$$, сдвинутый вниз на $$1$$.

6. $$y=-(x-2)^3$$ — график $$y=-x^3$$, сдвинутый вправо на $$2$$.

Ответ

Все данные функции возрастают на своей области определения. Графики: $$y=x^3$$, $$y=x^3+2$$, $$y=(x+1)^3$$, $$y=-x^3$$, $$y=-x^3-1$$, $$y=-(x-2)^3$$.