Упр.22.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Найдите все значения параметра р, при которых во множестве решений неравенства (p-2)x+2p-x^2?0 не содержится ни одного натурального числа.

а) Рассмотрим неравенство

$$x^2-(p+7)x+7p<0.$$

Разложим левую часть на множители:

$$x^2-(p+7)x+7p=(x-7)(x-p).$$

Тогда

$$ (x-7)(x-p)<0. $$

Решения этого неравенства лежат между корнями $7$ и $p$. Чтобы среди них было ровно три натуральных числа, расстояние между числами $7$ и $p$ должно быть равно $4$.

Возможны два случая:

$$p-7=4 \Rightarrow p=11,$$

$$7-p=4 \Rightarrow p=3.$$

При этих значениях параметра в промежутке между корнями содержатся ровно три натуральных числа.

б) Рассмотрим неравенство

$$ (p-2)x+2p-x^2\ge 0. $$

Перенесём всё в левую часть:

$$x^2-(p-2)x-2p\le 0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(p-2)^2+8p=p^2+4p+4=(p+2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{p-2\pm(p+2)}{2},$$

откуда

$$x_1=-2,\qquad x_2=p.$$

Следовательно,

$$ (x+2)(x-p)\le 0. $$

Решения неравенства — отрезок между числами $-2$ и $p$.

Чтобы в этом множестве не было ни одного натурального числа, нужно, чтобы весь отрезок лежал левее $1$:

$$p<1.$$

При $p=1$ число $1$ уже входит в множество решений, поэтому этот случай не подходит.

Ответ

а) $$p=3,\ 11.$$

б) $$p\in(-\infty;1).$$