Упр.22.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {(x+y)/(x-y)+6·(x-y)/(x+y)=5, xy=2};
б) {(x+2y)/(x-2y)-3·(x-2y)/(x+2y)=2, xy=4}.

1. а) Обозначим

   $$t=\frac{x+y}{x-y}.$$

   Тогда из первого уравнения получаем

   $$t+\frac{6}{t}=5,$$

   $$t^2-5t+6=0,$$

   $$t^2-5t+6=(t-2)(t-3)=0.$$

   Значит, $$t=2$$ или $$t=3$$.

   1) Если $$\frac{x+y}{x-y}=2,$$ то

   $$x+y=2x-2y,$$

   $$x=3y.$$

   С учётом $$xy=2$$ имеем

   $$3y^2=2,$$

   $$y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}, \quad x=\pm\sqrt{6}.$$

   2) Если $$\frac{x+y}{x-y}=3,$$ то

   $$x+y=3x-3y,$$

   $$x=2y.$$

   С учётом $$xy=2$$ получаем

   $$2y^2=2,$$

   $$y=\pm1, \quad x=\pm2.$$

   Подходящие пары:

   $$(-2,-1), \ (2,1), \ \left(-\sqrt{6},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right), \ \left(\sqrt{6},\sqrt{\frac{2}{3}}\right).$$

2. б) Обозначим

   $$t=\frac{x+2y}{x-2y}.$$

   Тогда

   $$t-\frac{3}{t}=2,$$

   $$t^2-2t-3=0,$$

   $$t^2-2t-3=(t+1)(t-3)=0.$$

   Значит, $$t=-1$$ или $$t=3$$.

   1) Если $$\frac{x+2y}{x-2y}=-1,$$ то

   $$x+2y=-x+2y,$$

   $$2x=0,$$

   $$x=0,$$

   но тогда из $$xy=4$$ получаем противоречие. Этот случай не подходит.

   2) Если $$\frac{x+2y}{x-2y}=3,$$ то

   $$x+2y=3x-6y,$$

   $$x=4y.$$

   С учётом $$xy=4$$ имеем

   $$4y^2=4,$$

   $$y=\pm1, \quad x=\pm4.$$

   Подходящие пары:

   $$(-4,-1), \ (4,1).$$

Ответ

а) $$(-2,-1), \ (2,1), \left(-\sqrt{6},-\sqrt{\frac{2}{3}}\right), \left(\sqrt{6},\sqrt{\frac{2}{3}}\right);$$ б) $$(-4,-1), \ (4,1).$$