Упр.22.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (x+v(x^2-xy))/(x-v(x^2-xy))+(x-v(x^2-xy))/(x+v(x^2-xy));
б) ((1+v(1-x^2))/(1-v(1-x^2))+1):(1+v(1-x^2)). Упростите выражение:
а) 3+2v3-v(2v3-3)^2; в) v(7-3v5)^2-2v5+3;
б) 5-4v5+v(21-4v5); г) v(23-8v7)-4v7+11.

1. а)

   $$\frac{x+\sqrt{x^2-xy}}{x-\sqrt{x^2-xy}}+\frac{x-\sqrt{x^2-xy}}{x+\sqrt{x^2-xy}}$$
   $$=\frac{(x+\sqrt{x^2-xy})^2+(x-\sqrt{x^2-xy})^2}{(x-\sqrt{x^2-xy})(x+\sqrt{x^2-xy})}$$
   $$=\frac{2x^2+2(x^2-xy)}{x^2-(x^2-xy)}=\frac{4x^2-2xy}{xy}=\frac{2(2x-y)}{y}.$$

2. б)

   $$\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}+1\right):(1+\sqrt{1-x^2})$$
   $$=\frac{1+\sqrt{1-x^2}+1-\sqrt{1-x^2}}{1-\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}$$
   $$=\frac{2}{1-(1-x^2)}\cdot\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}=\frac{2}{x^2}\cdot\frac{1}{1+\sqrt{1-x^2}}.$$

3. а)

   $$3+2\sqrt{3}-\sqrt{(2\sqrt{3}-3)^2}=3+2\sqrt{3}-|2\sqrt{3}-3|.$$
   Так как $$2\sqrt{3}-3>0,$$ то
   $$|2\sqrt{3}-3|=2\sqrt{3}-3.$$
   Тогда
   $$3+2\sqrt{3}-(2\sqrt{3}-3)=6.$$

4. б)

   $$5-4\sqrt{5}+\sqrt{21-4\sqrt{5}}=5-4\sqrt{5}+\sqrt{20-4\sqrt{5}+1}$$
   $$=5-4\sqrt{5}+\sqrt{(2\sqrt{5}-1)^2}=5-4\sqrt{5}+|2\sqrt{5}-1|.$$
   Так как $$2\sqrt{5}-1>0,$$ то
   $$|2\sqrt{5}-1|=2\sqrt{5}-1.$$
   Следовательно,
   $$5-4\sqrt{5}+2\sqrt{5}-1=4-2\sqrt{5}.$$

5. в)

   $$\sqrt{(7-3\sqrt{5})^2}-2\sqrt{5}+3=|7-3\sqrt{5}|-2\sqrt{5}+3.$$
   Так как $$7-3\sqrt{5}>0,$$ то
   $$|7-3\sqrt{5}|=7-3\sqrt{5}.$$
   Тогда
   $$7-3\sqrt{5}-2\sqrt{5}+3=10-5\sqrt{5}=5(2-\sqrt{5}).$$

6. г)

   $$\sqrt{23-8\sqrt{7}}-4\sqrt{7}+11=\sqrt{16-4\sqrt{7}+7-4\sqrt{7}+11}$$
   $$=\sqrt{(4-\sqrt{7})^2}-4\sqrt{7}+11=|4-\sqrt{7}|-4\sqrt{7}+11.$$
   Так как $$4-\sqrt{7}>0,$$ то
   $$|4-\sqrt{7}|=4-\sqrt{7}.$$
   Следовательно,
   $$4-\sqrt{7}-4\sqrt{7}+11=15-5\sqrt{7}.$$

Ответ

а) $$\frac{2(2x-y)}{y}$$; б) $$\frac{2}{x^2(1+\sqrt{1-x^2})}$$; а) $$6$$; б) $$4-2\sqrt{5}$$; в) $$5(2-\sqrt{5})$$; г) $$15-5\sqrt{7}$$.