Упр.22.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство: а) $$\frac{a^2+4a-1}{a^2+4a+3}\ ?\ \frac{1}{a+1}$$; б) $$\frac{a^2-5a+11}{a^2-a-2}\ ?\ -\frac{7}{a+1}$$.
Решите уравнение: а) $$x^2+\left(\sqrt{x-3}\right)^2=9$$; в) $$x^2-\left(\sqrt{2x+3}\right)^2=12$$; б) $$2x^2+\left(\sqrt{11x-13}\right)^2=50$$; г) $$2x^2+\left(\sqrt{11x-12}\right)^2=28$$.

Подробный ответ

а)
$$\frac{a^2+4a-1}{a^2+4a+3}\le \frac1{a+1}$$
$$\frac{a^2+4a-1}{(a+3)(a+1)}-\frac1{a+1}\le 0$$
$$\frac{a^2+4a-1-(a+3)}{(a+3)(a+1)}\le 0$$
$$\frac{a^2+3a-4}{(a+3)(a+1)}\le 0$$
$$\frac{(a+4)(a-1)}{(a+3)(a+1)}\le 0$$
Критические точки: $$a=-4,\,-3,\,-1,\,1.$$
С учётом области определения получаем:
$$a\in[-4;-3)\cup(-1;1].$$
б)
$$\frac{a^2-5a+11}{a^2-a-2}\le -\frac7{a+1}$$
$$\frac{a^2-5a+11}{(a+1)(a-2)}+\frac7{a+1}\le 0$$
$$\frac{a^2-5a+11+7(a-2)}{(a+1)(a-2)}\le 0$$
$$\frac{a^2+2a-3}{(a+1)(a-2)}\le 0$$
$$\frac{(a+3)(a-1)}{(a+1)(a-2)}\le 0$$
Критические точки: $$a=-3,\,-1,\,1,\,2.$$
$$a\in[-3;-1)\cup[1;2).$$
а)
$$x^2+(\sqrt{x-3})^2=9$$
$$x^2+x-3-9=0$$
$$x^2+x-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x=\frac{-1\pm 7}{2}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=3$$
С учётом условия $$x\ge 3$$ подходит только $$x=3.$$
б)
$$2x^2+(\sqrt{11x-13})^2=50$$
$$2x^2+11x-13=50$$
$$2x^2+11x-63=0$$
$$D=11^2+4\cdot 2\cdot 63=625$$
$$x=\frac{-11\pm 25}{4}$$
$$x_1=-9,\quad x_2=\frac72$$
С учётом условия $$11x-13\ge 0$$ подходит только $$x=\frac72.$$
в)
$$x^2-(\sqrt{2x+3})^2=12$$
$$x^2-(2x+3)=12$$
$$x^2-2x-15=0$$
$$D=4+60=64$$
$$x=\frac{2\pm 8}{2}$$
$$x_1=-3,\quad x_2=5$$
Оба корня удовлетворяют условию $$2x+3\ge 0$$, значит решения: $$x=-3$$ и $$x=5.$$
г)
$$2x^2+(\sqrt{11x-12})^2=28$$
$$2x^2+11x-12=28$$
$$2x^2+11x-40=0$$
$$D=11^2+4\cdot 2\cdot 40=441$$
$$x=\frac{-11\pm 21}{4}$$
$$x_1=-8,\quad x_2=\frac52$$
С учётом условия $$11x-12\ge 0$$ подходит только $$x=\frac52.$$