Упр.22.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) y=4x-3; г) y=3x+7;
б) y=(x+1)^2-4; д) y=-1/3 (x-2)^2+3;
в) y=-2/(x+3)+1; е) y=v(x+3)-2.
Решите систему уравнений:
а) {3x^2-2y=69, x^2 y=75};
б) {-3x+2y^2=29, xy^2=175}.
а) $$y=4x-3$$
Найдём, при каких значениях $$x$$ функция положительна и отрицательна:
$$4x-3>0$$
$$4x>3,\quad x>\frac34$$
Значит, $$y>0$$ при $$x\in\left(\frac34;+\infty\right)$$, а $$y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;\frac34\right).$$
б) $$y=(x+1)^2-4$$
$$ (x+1)^2-4>0 $$
$$ x^2+2x+1-4>0 $$
$$ x^2+2x-3>0 $$
$$ (x+3)(x-1)>0 $$
Отсюда:
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>1.$$
Значит, $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty)$$, а $$y<0$$ при $$x\in(-3;1).$$
в) $$y=-\frac{2}{x+3}+1$$
$$-\frac{2}{x+3}+1>0$$
$$\frac{x+3-2}{x+3}>0$$
$$\frac{x+1}{x+3}>0$$
Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.
Знак дроби положителен при $$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty),$$
отрицателен при $$x\in(-3;-1).$$
г) $$y=3x+7$$
$$3x+7>0$$
$$3x>-7,\quad x>-\frac73$$
Значит, $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac73;+\infty\right)$$, а $$y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;-\frac73\right).$$
д) $$y=-\frac13(x-2)^2+3$$
$$-\frac13(x-2)^2+3>0$$
$$-(x-2)^2+9>0$$
$$x^2-4x+4-9<0$$
$$x^2-4x-5<0$$
$$ (x+1)(x-5)<0 $$
Отсюда:
$$-1<x<5.$$
Значит, $$y>0$$ при $$x\in(-1;5)$$, а $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty).$$
е) $$y=\sqrt{x+3}-2$$
Область определения: $$x+3\ge 0,\; x\ge -3.$$
$$\sqrt{x+3}-2>0$$
$$\sqrt{x+3}>2$$
$$x+3>4,\quad x>1$$
С учётом ОДЗ получаем:
$$y>0$$ при $$x\in(1;+\infty),$$
$$y<0$$ при $$x\in[-3;1).$$
Ход решения
а)
$$ \begin{cases} 3x^2-2y=69,\\ x^2y=75 \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=\frac{75}{x^2},\quad x\ne 0.$$
Подставим в первое:
$$3x^2-2\cdot\frac{75}{x^2}=69$$
$$3x^4-69x^2-150=0$$
$$x^4-23x^2-50=0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-23t-50=0$$
$$D=23^2+4\cdot 50=729,$$
$$t_1=\frac{23-27}{2}=-2,\quad t_2=\frac{23+27}{2}=25.$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ берём только $$t=25.$$ Тогда
$$x^2=25,\quad x=\pm 5.$$
Найдём $$y$$:
$$y=\frac{75}{25}=3.$$
Получаем решения:
$$(-5;3),\ (5;3).$$
б)
$$ \begin{cases} -3x+2y^2=29,\\ xy^2=175 \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y^2=\frac{175}{x},\quad x\ne 0.$$
Подставим в первое:
$$-3x+2\cdot\frac{175}{x}=29$$
$$-3x^2+350=29x$$
$$3x^2+29x-350=0.$$
$$D=29^2+4\cdot 3\cdot 350=5041,$$
$$x_1=\frac{-29-71}{6}=-\frac{50}{3},\quad x_2=\frac{-29+71}{6}=7.$$
Проверим по условию $$y^2=\frac{175}{x}$$: при $$x=-\frac{50}{3}$$ правая часть отрицательна, значит действительных решений нет. При $$x=7$$:
$$y^2=\frac{175}{7}=25,\quad y=\pm 5.$$
Получаем решения:
$$ (7;-5),\ (7;5). $$
Ответ
Промежутки знакопостоянства:
а) $$y>0$$ при $$x\in\left(\frac34;+\infty\right),\; y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;\frac34\right);$$
б) $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty),\; y<0$$ при $$x\in(-3;1);$$
в) $$y>0$$ при $$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;+\infty),\; y<0$$ при $$x\in(-3;-1);$$
г) $$y>0$$ при $$x\in\left(-\frac73;+\infty\right),\; y<0$$ при $$x\in\left(-\infty;-\frac73\right);$$
д) $$y>0$$ при $$x\in(-1;5),\; y<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(5;+\infty);$$
е) $$y>0$$ при $$x\in(1;+\infty),\; y<0$$ при $$x\in[-3;1).$$
Система уравнений:
а) $$(-5;3),\ (5;3);$$
б) $$(7;-5),\ (7;5).$$
