Упр.22.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) 1/x=vx; г) 8/x=vx;
б) -2/x=-1-x; д) 3/x=3x^2;
в) x^3+x-2=0; е) x^3+vx-2=0. Решите биквадратное уравнение:
а) x^4-12x^2+36=0; в) x^4-16x^2+64=0;
в) x^4-6x^2-27=0; г) x^4+15x^2-16=0.
а) $$\frac{1}{x}=\sqrt{x}$$
Область определения: $$x>0$$.
Рассмотрим функции $$f(x)=\frac{1}{x}$$ и $$g(x)=\sqrt{x}$$. При $$x>0$$ первая убывает, вторая возрастает, значит, уравнение имеет не более одного решения.
Проверим $$x=1$$:
$$\frac{1}{1}=\sqrt{1}=1.$$
Значит, $$x=1$$.
б) $$-\frac{2}{x}=-1-x$$
Область определения: $$x\neq 0$$.
Рассмотрим функции $$f(x)=-\frac{2}{x}$$ и $$g(x)=-1-x$$. При $$x\neq 0$$ первая возрастает, вторая убывает, значит, решение единственно.
Проверим $$x=-2$$:
$$-\frac{2}{-2}=1,\qquad -1-(-2)=1.$$
Следовательно, $$x=-2$$.
в) $$x^3+x-2=0$$
Перепишем:
$$x^3=2-x.$$
Функция $$f(x)=x^3$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)=2-x$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$1^3+1-2=0.$$
Значит, $$x=1$$.
г) $$\frac{8}{x}=\sqrt{x}$$
Область определения: $$x>0$$.
Функция $$f(x)=\frac{8}{x}$$ убывает при $$x>0$$, а $$g(x)=\sqrt{x}$$ возрастает при $$x>0$$, поэтому решение единственно.
Проверим $$x=4$$:
$$\frac{8}{4}=2,\qquad \sqrt{4}=2.$$
Следовательно, $$x=4$$.
д) $$\frac{3}{x}=3x^2$$
Область определения: $$x\neq 0$$.
При $$x>0$$ функция $$f(x)=\frac{3}{x}$$ убывает, а $$g(x)=3x^2$$ возрастает, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$\frac{3}{1}=3,\qquad 3\cdot 1^2=3.$$
Значит, $$x=1$$.
е) $$x^3+\sqrt{x}-2=0$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Перепишем:
$$x^3=2-\sqrt{x}.$$
Функция $$f(x)=x^3$$ возрастает при $$x\ge 0$$, а $$g(x)=2-\sqrt{x}$$ убывает при $$x\ge 0$$, значит, решение единственно.
Проверим $$x=1$$:
$$1^3+\sqrt{1}-2=0.$$
Следовательно, $$x=1$$.
а) $$x^4-12x^2+36=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-12t+36=0,$$
$$\left(t-6\right)^2=0,$$
$$t=6.$$
Значит,
$$x^2=6,\qquad x=\pm\sqrt{6}.$$
б) $$x^4-6x^2-27=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-6t-27=0.$$
$$D=36+108=144,$$
$$t_{1,2}=\frac{6\pm 12}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-3,\qquad t_2=9.$$
Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=9$$.
Следовательно,
$$x=\pm 3.$$
в) $$x^4-16x^2+64=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-16t+64=0,$$
$$\left(t-8\right)^2=0,$$
$$t=8.$$
Значит,
$$x^2=8,\qquad x=\pm 2\sqrt{2}.$$
г) $$x^4+15x^2-16=0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2+15t-16=0.$$
$$D=15^2+4\cdot 16=225+64=289,$$
$$t_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{2}.$$
Получаем:
$$t_1=-16,\qquad t_2=1.$$
Так как $$t=x^2\ge 0$$, подходит только $$t=1$$.
Следовательно,
$$x=\pm 1.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$-2$$; в) $$1$$; г) $$4$$; д) $$1$$; е) $$1$$; а) $$-\sqrt{6},\ \sqrt{6}$$; б) $$-3,\ 3$$; в) $$-2\sqrt{2},\ 2\sqrt{2}$$; г) $$-1,\ 1$$.
