Упр.22.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}x+6,& -4\leq x<2,\\-2x^2+4x+5,& x\geq 2.\end{cases}$$
а) Найдите $$f(-5),\ f(-4),\ f(1),\ f(2),\ f(3)$$;
б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
в) перечислите свойства функции. - Постройте график функции:
а) $$y=|x^3|$$;
г) $$y=(|x|-1)^3$$;
б) $$y=|x^3-1|$$;
д) $$y=|x^3+3|$$;
в) $$y=\bigl|(|x|-2)^3-3\bigr|$$;
е) $$y=\bigl|(|x|+1)^3-2\bigr|$$.
Функция задана формулой
$$f(x)= \begin{cases} x+6, & -4\le x<2,\\ -2x^2+4x+5, & x\ge 2. \end{cases}$$
а) Найдём значения функции:
$$f(-5)\ \text{не существует,}$$
так как $$-5<-4$$ и это значение не входит в область определения.
$$f(-4)=-4+6=2;$$
$$f(1)=1+6=7;$$
$$f(2)=-2\cdot 2^2+4\cdot 2+5=-8+8+5=5;$$
$$f(3)=-2\cdot 3^2+4\cdot 3+5=-18+12+5=-1.$$
б) График состоит из двух частей:
- прямая $$y=x+6$$ при $$-4\le x<2$$; на ней точки $$(-4;2)$$ и $$\left(2;8\right)$$, причём точка $$\left(2;8\right)$$ не входит в график;
- парабола $$y=-2x^2+4x+5$$ при $$x\ge 2$$; она начинается в точке $$\left(2;5\right)$$ и далее убывает.
в) Свойства функции:
$$D(f)=[-4;+\infty),$$
$$E(f)=(-\infty;8).$$
Функция возрастает на $$[-4;2)$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$.
Нуль функции найдём из уравнения
$$-2x^2+4x+5=0.$$
$$2x^2-4x-5=0,$$
$$x=\frac{4\pm\sqrt{16+40}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{56}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{14}}{2}.$$
Подходит только корень $$x=1+\frac{\sqrt{14}}{2}$$, так как он лежит в области $$x\ge 2$$.
Значит, $$f(x)>0$$ при $$x\in[-4;1+\frac{\sqrt{14}}{2})$$, $$f(x)=0$$ при $$x=1+\frac{\sqrt{14}}{2}$$, $$f(x)<0$$ при $$x\in\left(1+\frac{\sqrt{14}}{2};+\infty\right)$$.
Функция ограничена сверху.
Построение графиков функций:
а) $$y=|x^3|=|x|^3$$ — график функции $$y=x^3$$, у которого часть ниже оси $$Ox$$ отражена симметрично вверх относительно оси $$Ox$$.
б) $$y=|x^3-1|$$ — график $$y=x^3-1$$, у которого часть ниже оси $$Ox$$ отражена вверх.
в) $$y=\left|(|x|-2)^3-3\right|$$ — сначала строится график $$y=(|x|-2)^3-3$$, затем его часть ниже оси $$Ox$$ отражается вверх.
г) $$y=(|x|-1)^3$$ — график симметричен относительно оси $$Oy$$, так как зависит от $$|x|$$.
д) $$y=|x^3+3|$$ — график $$y=x^3+3$$, у которого отрицательная часть отражена вверх.
е) $$y=\left|(|x|+1)^3-2\right|$$ — сначала строится график $$y=(|x|+1)^3-2$$, затем часть ниже оси $$Ox$$ отражается вверх.
Ответ
а) $$f(-5)$$ не существует, $$f(-4)=2$$, $$f(1)=7$$, $$f(2)=5$$, $$f(3)=-1$$;
б) график состоит из отрезка прямой $$y=x+6$$ при $$-4\le x<2$$ и ветви параболы $$y=-2x^2+4x+5$$ при $$x\ge 2$$;
в) $$D(f)=[-4;+\infty),\ E(f)=(-\infty;8),$$ функция возрастает на $$[-4;2)$$, убывает на $$[2;+\infty)$$, ограничена сверху.
