Упр.22.15 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) Найдите f(-5), f(-4), f(1), f(2), f(3);
б) постройте график функции y=f(x);
в) перечислите свойства функции. Постройте график функции:
а) y=|x^3|; г) y=(|x|-1)^3;
б) y=|x^3-1|; д) y=|x^3+3|;
в) y=|(|x|-2)^3-3)|; е) y=|(|x|+1)^3-2|.

Подробный ответ

Функция задана формулой

$$ f(x)= \begin{cases} x+6, & -4\le x<2,\\ -2x^2+4x+5, & x\ge 2. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-5)\ \text{не существует,} $$

так как $$-5<-4$$ и это значение не входит в область определения.

$$ f(-4)=-4+6=2; $$

$$ f(1)=1+6=7; $$

$$ f(2)=-2\cdot 2^2+4\cdot 2+5=-8+8+5=5; $$

$$ f(3)=-2\cdot 3^2+4\cdot 3+5=-18+12+5=-1. $$

б) График состоит из двух частей:

прямая $$y=x+6$$ при $$-4\le x<2$$; на ней точки $$(-4;2)$$ и $$\left(2;8\right)$$, причём точка $$\left(2;8\right)$$ не входит в график;
парабола $$y=-2x^2+4x+5$$ при $$x\ge 2$$; она начинается в точке $$\left(2;5\right)$$ и далее убывает.

в) Свойства функции:

$$ D(f)=[-4;+\infty), $$

$$ E(f)=(-\infty;8). $$

Функция возрастает на $$[-4;2)$$ и убывает на $$[2;+\infty)$$.

Нуль функции найдём из уравнения

$$ -2x^2+4x+5=0. $$

$$ 2x^2-4x-5=0, $$

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{16+40}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{56}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{14}}{2}. $$

Подходит только корень $$x=1+\frac{\sqrt{14}}{2}$$, так как он лежит в области $$x\ge 2$$.

Значит, $$f(x)>0$$ при $$x\in[-4;1+\frac{\sqrt{14}}{2})$$, $$f(x)=0$$ при $$x=1+\frac{\sqrt{14}}{2}$$, $$f(x)<0$$ при $$x\in\left(1+\frac{\sqrt{14}}{2};+\infty\right)$$.

Функция ограничена сверху.

Построение графиков функций:

а) $$y=|x^3|=|x|^3$$ — график функции $$y=x^3$$, у которого часть ниже оси $$Ox$$ отражена симметрично вверх относительно оси $$Ox$$.

б) $$y=|x^3-1|$$ — график $$y=x^3-1$$, у которого часть ниже оси $$Ox$$ отражена вверх.

в) $$y=\left|(|x|-2)^3-3\right|$$ — сначала строится график $$y=(|x|-2)^3-3$$, затем его часть ниже оси $$Ox$$ отражается вверх.

г) $$y=(|x|-1)^3$$ — график симметричен относительно оси $$Oy$$, так как зависит от $$|x|$$.

д) $$y=|x^3+3|$$ — график $$y=x^3+3$$, у которого отрицательная часть отражена вверх.

е) $$y=\left|(|x|+1)^3-2\right|$$ — сначала строится график $$y=(|x|+1)^3-2$$, затем часть ниже оси $$Ox$$ отражается вверх.