Упр.22.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Функция задана формулой

$$f(x)= \begin{cases} 2x^2-4x-3, & -2\le x<2,\\ x-6, & x\ge 2. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-3)\ \text{не существует, так как } -3\notin D(f);$$

$$f(-2)=2\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)-3=8+8-3=13;$$

$$f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1-3=2-4-3=-5;$$

$$f(2)=2-6=-4;$$

$$f(4)=4-6=-2.$$

б) График функции состоит из двух частей:

• парабола $$y=2x^2-4x-3$$ при $$-2\le x<2$$;
• прямая $$y=x-6$$ при $$x\ge 2$$.

В точке $$x=2$$ парабола не входит в график, а прямая начинается с точки $$\left(2;\,-4\right)$$.

в) Свойства функции:

$$D(f)=[-2;+\infty), \qquad E(f)=[-5;+\infty).$$

Функция убывает на $$[-2;1]$$, возрастает на $$[1;2)$$ и на $$[2;+\infty)$$.

Минимум функции равен $$-5$$ и достигается при $$x=1$$.

Нули функции:

$$2x^2-4x-3=0 \Rightarrow x=1\pm \sqrt{2.5},$$

а также

$$x-6=0 \Rightarrow x=6.$$

Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=1-\sqrt{2.5}$$ и $$x=6$$.

Функция положительна при $$x\in[-2;1-\sqrt{2.5})\cup(6;+\infty)$$ и отрицательна при $$x\in(1-\sqrt{2.5};6)$$.

Графически решим системы:

1. $$\begin{cases} y=x^3,\\ y=2-x \end{cases}$$

   Точка пересечения: $$\left(1;1\right)$$.

2. $$\begin{cases} y=-(x-1)^3,\\ y=2x-2 \end{cases}$$

   Точка пересечения: $$\left(1;0\right)$$.

3. $$\begin{cases} y=\sqrt{x+3}-1,\\ y=(x+3)^3-1 \end{cases}$$

   Точки пересечения: $$\left(-3;-1\right)$$ и $$\left(-2;0\right)$$.

4. $$\begin{cases} y=-x^3,\\ y=-x \end{cases}$$

   Точки пересечения: $$\left(-1;1\right),\ \left(0;0\right),\ \left(1;-1\right).$$

5. $$\begin{cases} y=(x+2)^3,\\ y=-2x-1 \end{cases}$$

   Точка пересечения: $$\left(-1;1\right).$$

6. $$\begin{cases} y=-(x-1)^3+2,\\ y=-\sqrt{x-1}+2 \end{cases}$$

   Точки пересечения: $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(2;1\right).$$

Ответ

а) $$f(-3)$$ не существует, $$f(-2)=13$$, $$f(1)=-5$$, $$f(2)=-4$$, $$f(4)=-2$$;

б) график состоит из параболы $$y=2x^2-4x-3$$ при $$-2\le x<2$$ и прямой $$y=x-6$$ при $$x\ge 2$$;

в) $$D(f)=[-2;+\infty),\ E(f)=[-5;+\infty)$$, минимум $$-5$$ при $$x=1$$;

системы: а) $$\left(1;1\right)$$, б) $$\left(1;0\right)$$, в) $$\left(-3;-1\right),\ \left(-2;0\right)$$, г) $$\left(-1;1\right),\ \left(0;0\right),\ \left(1;-1\right)$$, д) $$\left(-1;1\right)$$, е) $$\left(1;2\right),\ \left(2;1\right)$$.