Упр.22.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) Найдите f(-3), f(-2), f(1), f(2), f(4);
б) постройте график функции y=f(x);
в) перечислите свойства функции. Решите графически систему уравнений:
а) {y=x^3, y=2-x}; г) {y=-x^3, y=-x};
б) {y=-(x-1)^3, y=2x-2}; д) {y=(x+2)^3, y=-2x-1};
в) {y=v(x+3)-1, y=(x+3)^3-1}; е) {y=-(x-1)^3+2, y=-v(x-1)+2}.
Функция задана формулой
$$ f(x)= \begin{cases} 2x^2-4x-3, & -2\le x<2,\\ x-6, & x\ge 2. \end{cases} $$
а) Найдём значения функции:
$$ f(-3)\ \text{не существует, так как } -3\notin D(f); $$
$$ f(-2)=2\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)-3=8+8-3=13; $$
$$ f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1-3=2-4-3=-5; $$
$$ f(2)=2-6=-4; $$
$$ f(4)=4-6=-2. $$
б) График функции состоит из двух частей:
- парабола $$y=2x^2-4x-3$$ при $$-2\le x<2$$;
- прямая $$y=x-6$$ при $$x\ge 2$$.
В точке $$x=2$$ парабола не входит в график, а прямая начинается с точки $$\left(2;\,-4\right)$$.
в) Свойства функции:
$$ D(f)=[-2;+\infty), \qquad E(f)=[-5;+\infty). $$
Функция убывает на $$[-2;1]$$, возрастает на $$[1;2)$$ и на $$[2;+\infty)$$.
Минимум функции равен $$-5$$ и достигается при $$x=1$$.
Нули функции:
$$ 2x^2-4x-3=0 \Rightarrow x=1\pm \sqrt{2.5}, $$
а также
$$ x-6=0 \Rightarrow x=6. $$
Значит, $$f(x)=0$$ при $$x=1-\sqrt{2.5}$$ и $$x=6$$.
Функция положительна при $$x\in[-2;1-\sqrt{2.5})\cup(6;+\infty)$$ и отрицательна при $$x\in(1-\sqrt{2.5};6)$$.
Графически решим системы:
$$ \begin{cases} y=x^3,\\ y=2-x \end{cases} $$
Точка пересечения: $$\left(1;1\right)$$.
$$ \begin{cases} y=-(x-1)^3,\\ y=2x-2 \end{cases} $$
Точка пересечения: $$\left(1;0\right)$$.
$$ \begin{cases} y=\sqrt{x+3}-1,\\ y=(x+3)^3-1 \end{cases} $$
Точки пересечения: $$\left(-3;-1\right)$$ и $$\left(-2;0\right)$$.
$$ \begin{cases} y=-x^3,\\ y=-x \end{cases} $$
Точки пересечения: $$\left(-1;1\right),\ \left(0;0\right),\ \left(1;-1\right).$$
$$ \begin{cases} y=(x+2)^3,\\ y=-2x-1 \end{cases} $$
Точка пересечения: $$\left(-1;1\right).$$
$$ \begin{cases} y=-(x-1)^3+2,\\ y=-\sqrt{x-1}+2 \end{cases} $$
Точки пересечения: $$\left(1;2\right)$$ и $$\left(2;1\right).$$
Ответ
а) $$f(-3)$$ не существует, $$f(-2)=13$$, $$f(1)=-5$$, $$f(2)=-4$$, $$f(4)=-2$$;
б) график состоит из параболы $$y=2x^2-4x-3$$ при $$-2\le x<2$$ и прямой $$y=x-6$$ при $$x\ge 2$$;
в) $$D(f)=[-2;+\infty),\ E(f)=[-5;+\infty)$$, минимум $$-5$$ при $$x=1$$;
системы: а) $$\left(1;1\right)$$, б) $$\left(1;0\right)$$, в) $$\left(-3;-1\right),\ \left(-2;0\right)$$, г) $$\left(-1;1\right),\ \left(0;0\right),\ \left(1;-1\right)$$, д) $$\left(-1;1\right)$$, е) $$\left(1;2\right),\ \left(2;1\right)$$.
