Упр.22.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=x^2+6x-2; г) y=x^2+12x+11;
б) y=4x^2+8x-3; д) y=1/3 x^2-2x-9;
в) y=-3/4 x^2-3x+11; е) y=-2x^2+4x+5. Решите графически неравенство:
а) (x+1)^3<1; г) (x-4)^3>-1;
б) -x^3?2x+3; д) x^3?-1/2 x-9;
в) (x-1)^3?x+5; е) -(x+2)^3>1/3 x+2.

1. Для квадратичной функции $$y=ax^2+bx+c$$ вершина параболы имеет абсциссу $$x_0=-\frac{b}{2a}.$$ Если $$a>0,$$ то в вершине достигается наименьшее значение, если $$a<0,$$ — наибольшее.

   а) $$y=x^2+6x-2$$

   $$x_0=-\frac{6}{2\cdot 1}=-3,$$
   $$y_0=(-3)^2+6\cdot(-3)-2=9-18-2=-11.$$
   Наименьшее значение: $$-11,$$ наибольшего нет.

   б) $$y=4x^2+8x-3$$

   $$x_0=-\frac{8}{2\cdot 4}=-1,$$
   $$y_0=4\cdot(-1)^2+8\cdot(-1)-3=4-8-3=-7.$$
   Наименьшее значение: $$-7,$$ наибольшего нет.

   в) $$y=-\frac{3}{4}x^2-3x+11$$

   $$x_0=-\frac{-3}{2\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)}=-2,$$
   $$y_0=-\frac{3}{4}\cdot(-2)^2-3\cdot(-2)+11=-3+6+11=14.$$
   Наибольшее значение: $$14,$$ наименьшего нет.

   г) $$y=x^2+12x+11$$

   $$x_0=-\frac{12}{2\cdot 1}=-6,$$
   $$y_0=(-6)^2+12\cdot(-6)+11=36-72+11=-25.$$
   Наименьшее значение: $$-25,$$ наибольшего нет.

   д) $$y=\frac{1}{3}x^2-2x-9$$

   $$x_0=-\frac{-2}{2\cdot\frac{1}{3}}=3,$$
   $$y_0=\frac{1}{3}\cdot 3^2-2\cdot 3-9=3-6-9=-12.$$
   Наименьшее значение: $$-12,$$ наибольшего нет.

   е) $$y=-2x^2+4x+5$$

   $$x_0=-\frac{4}{2\cdot(-2)}=1,$$
   $$y_0=-2\cdot 1^2+4\cdot 1+5=-2+4+5=7.$$
   Наибольшее значение: $$7,$$ наименьшего нет.

2. а) $$\left(x+1\right)^3<1$$

   $$\left(x+1\right)^3<1^3 \;\Rightarrow\; x+1<1 \;\Rightarrow\; x<0.$$

   б) $$-x^3\ge 2x+3$$

   $$-x^3-2x-3\ge 0.$$
   Проверим точку $$x=-1$$:
   $$-(-1)^3-2(-1)-3=1+2-3=0.$$
   Так как функция $$-x^3-2x-3$$ убывает, то неравенство выполняется при $$x\le -1.$$

   в) $$\left(x-1\right)^3\le x+5$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$\left(x-1\right)^3-x-5\le 0.$$
   При $$x=3$$ получаем:
   $$\left(3-1\right)^3-3-5=8-8=0.$$
   Следовательно, решение:
   $$x\le 3.$$

   г) $$\left(x-4\right)^3>-1$$

   $$\left(x-4\right)^3>(-1)^3 \;\Rightarrow\; x-4>-1 \;\Rightarrow\; x>3.$$

   д) $$x^3\le -\frac{1}{2}x-9$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$x^3+\frac{1}{2}x+9\le 0.$$
   Проверим $$x=-2$$:
   $$(-2)^3+\frac{1}{2}\cdot(-2)+9=-8-1+9=0.$$
   Так как левая часть возрастает, то
   $$x\le -2.$$

   е) $$-\left(x+2\right)^3>\frac{1}{3}x+2$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$-\left(x+2\right)^3-\frac{1}{3}x-2>0.$$
   При $$x=-3$$:
   $$-\left(-1\right)^3-\frac{1}{3}\cdot(-3)-2=1+1-2=0.$$
   Следовательно,
   $$x<-3.$$

Ответ

1) а) $$-11$$; нет. б) $$-7$$; нет. в) нет; $$14$$. г) $$-25$$; нет. д) $$-12$$; нет. е) нет; $$7$$.
2) а) $$(-\infty;0)$$; б) $$(-\infty;-1]$$; в) $$(-\infty;3]$$; г) $$(3;+\infty)$$; д) $$(-\infty;-2]$$; е) $$(-\infty;-3)$$.