Упр.22.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) y=v(12-x^2); г) y=v(36-x^4);
б) y=-v(x^2-8x+15); д) y=v(3-x^2-2x);
в) y=1/v(x^2-8x+15); е) y=-3/v(3-x^2-2x). Постройте и прочитайте график данной функции:
а) f(x)={-x^3, если x<0; vx, если x?0}; б) f(x)={x^3, если x?0; 4/x, если x>0};
в) f(x)={6/(x+3), если x<-3; (x+3)^3-2, если x?-3}; г) f(x)={x, если x<-1; x^3, если x?-1}; д) f(x)={-3/x, если x<0; -x^3, если x?0}; е) f(x)={-(x-2)^3+1, если x<2; |x-4|-1, если x?2}.

1. Исследуем функцию на ограниченность.

1. $$y=\sqrt{12-x^2}$$
   
   Так как $$12-x^2\le 12$$, то
   $$0\le \sqrt{12-x^2}\le 2\sqrt{3}.$$
   
   Функция ограничена.
2. $$y=-\sqrt{x^2-8x+15}$$
   
   Выражение под корнем неотрицательно, значит
   $$\sqrt{x^2-8x+15}\ge 0,$$
   откуда
   $$y\le 0.$$
   
   Функция ограничена сверху.
3. $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2-8x+15}}$$
   
   При допустимых значениях переменной
   $$\sqrt{x^2-8x+15}>0,$$
   значит
   $$y>0.$$
   
   Функция ограничена снизу.
4. $$y=\sqrt{36-x^4}$$
   
   Так как $$36-x^4\le 36,$$
   то
   $$0\le \sqrt{36-x^4}\le 6.$$
   
   Функция ограничена.
5. $$y=\sqrt{3-x^2-2x}$$
   
   Преобразуем подкоренное выражение:
   $$3-x^2-2x=4-(x+1)^2\le 4.$$
   Тогда
   $$0\le \sqrt{3-x^2-2x}\le 2.$$
   
   Функция ограничена.
6. $$y=-\frac{3}{\sqrt{3-x^2-2x}}$$
   
   Так как
   $$0<\sqrt{3-x^2-2x}\le 2,$$
   то
   $$\frac{3}{\sqrt{3-x^2-2x}}\ge \frac{3}{2},$$
   следовательно,
   $$y\le -\frac{3}{2}.$$
   
   Функция ограничена сверху.

2. Строим и читаем графики функций.

1. $$f(x)= \begin{cases} -x^3, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0. \end{cases}$$
   
   $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
   Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$
   
   $$E(f)=[0;+\infty).$$
2. $$f(x)= \begin{cases} x^3, & x\le 0,\\ \frac{4}{x}, & x>0. \end{cases}$$
   
   $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
   Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$(0;+\infty).$$
   
   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
3. $$f(x)= \begin{cases} \frac{6}{x+3}, & x<-3,\\ (x+3)^3-2, & x\ge -3. \end{cases}$$
   
   $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
   Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$(-\infty;-3)$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$
   
   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
4. $$f(x)= \begin{cases} x, & x<-1,\\ x^3, & x\ge -1. \end{cases}$$
   
   $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
   Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на всей области определения.
   
   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
5. $$f(x)= \begin{cases} -\frac{3}{x}, & x<0,\\ -x^3, & x\ge 0. \end{cases}$$
   
   $$D(f)=(-\infty;0)\cup[0;+\infty).$$
   Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
   
   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
6. $$f(x)= \begin{cases} -(x-2)^3+1, & x<2,\\ |x-4|-1, & x\ge 2. \end{cases}$$
   
   $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
   Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$
   
   $$E(f)=[-1;+\infty).$$

Ответ

1) а) ограничена; б) ограничена сверху; в) ограничена снизу; г) ограничена; д) ограничена; е) ограничена сверху.
2) Для всех функций: область определения $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, если не указано иное; свойства и промежутки монотонности указаны выше.