Упр.22.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Исследуйте функцию на ограниченность: а) $$y=\sqrt{12-x^2}$$; б) $$y=-\sqrt{x^2-8x+15}$$; в) $$y=\frac{1}{\sqrt{x^2-8x+15}}$$; г) $$y=\sqrt{36-x^4}$$; д) $$y=\sqrt{3-x^2-2x}$$; е) $$y=-\frac{3}{\sqrt{3-x^2-2x}}$$.
Постройте и прочитайте график данной функции: а) $$f(x)=\begin{cases}-x^3,&\text{если }x<0;\\\sqrt{x},&\text{если }x\geq 0;\end{cases}$$ б) $$f(x)=\begin{cases}x^3,&\text{если }x\leq 0;\\\frac{4}{x},&\text{если }x>0;\end{cases}$$ в) $$f(x)=\begin{cases}\frac{6}{x+3},&\text{если }x<-3;\\(x+3)^3-2,&\text{если }x\geq -3;\end{cases}$$ г) $$f(x)=\begin{cases}x,&\text{если }x<-1;\\x^3,&\text{если }x\geq -1;\end{cases}$$ д) $$f(x)=\begin{cases}-\frac{3}{x},&\text{если }x<0;\\-x^3,&\text{если }x\geq 0;\end{cases}$$ е) $$f(x)=\begin{cases}-(x-2)^3+1,&\text{если }x<2;\\|x-4|-1,&\text{если }x\geq 2.\end{cases}$$

Подробный ответ

1. Исследуем функцию на ограниченность.

$$y=\sqrt{12-x^2}$$

Так как $$12-x^2\le 12$$, то
$$0\le \sqrt{12-x^2}\le 2\sqrt{3}.$$

Функция ограничена.
$$y=-\sqrt{x^2-8x+15}$$

Выражение под корнем неотрицательно, значит
$$\sqrt{x^2-8x+15}\ge 0,$$
откуда
$$y\le 0.$$

Функция ограничена сверху.
$$y=\frac{1}{\sqrt{x^2-8x+15}}$$

При допустимых значениях переменной
$$\sqrt{x^2-8x+15}>0,$$
значит
$$y>0.$$

Функция ограничена снизу.
$$y=\sqrt{36-x^4}$$

Так как $$36-x^4\le 36,$$
то
$$0\le \sqrt{36-x^4}\le 6.$$

Функция ограничена.
$$y=\sqrt{3-x^2-2x}$$

Преобразуем подкоренное выражение:
$$3-x^2-2x=4-(x+1)^2\le 4.$$
Тогда
$$0\le \sqrt{3-x^2-2x}\le 2.$$

Функция ограничена.
$$y=-\frac{3}{\sqrt{3-x^2-2x}}$$

Так как
$$0<\sqrt{3-x^2-2x}\le 2,$$
то
$$\frac{3}{\sqrt{3-x^2-2x}}\ge \frac{3}{2},$$
следовательно,
$$y\le -\frac{3}{2}.$$

Функция ограничена сверху.

2. Строим и читаем графики функций.

$$f(x)= \begin{cases} -x^3, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0. \end{cases}$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty).$$

$$E(f)=[0;+\infty).$$
$$f(x)= \begin{cases} x^3, & x\le 0,\\ \frac{4}{x}, & x>0. \end{cases}$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$(0;+\infty).$$

$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)= \begin{cases} \frac{6}{x+3}, & x<-3,\\ (x+3)^3-2, & x\ge -3. \end{cases}$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$(-\infty;-3)$$ и возрастает на $$[-3;+\infty).$$

$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)= \begin{cases} x, & x<-1,\\ x^3, & x\ge -1. \end{cases}$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на всей области определения.

$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)= \begin{cases} -\frac{3}{x}, & x<0,\\ -x^3, & x\ge 0. \end{cases}$$

$$D(f)=(-\infty;0)\cup[0;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$(-\infty;0)$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$

$$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
$$f(x)= \begin{cases} -(x-2)^3+1, & x<2,\\ |x-4|-1, & x\ge 2. \end{cases}$$

$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[4;+\infty).$$

$$E(f)=[-1;+\infty).$$

Ответ

1) а) ограничена; б) ограничена сверху; в) ограничена снизу; г) ограничена; д) ограничена; е) ограничена сверху.
2) Для всех функций: область определения $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, если не указано иное; свойства и промежутки монотонности указаны выше.