Упр.22.10 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) f(x)=3x^2+12x-11, a=-2,7, b=-3,4;
б) f(x)=4,7x^2-9,4x-9, a=1,8, b=2,3;
в) f(x)=-1,8x^2-18x+23,6, a=-4,9, b=-3,7;
г) f(x)=-4x^2+16x+15, a=2,8, b=3,2;
д) f(x)=5,6x^2-22,4x+11, a=2,8, b=2,99;
е) f(x)=-2,9x^2+23,2x-17,3, a=4,1, b=5,3. Постройте и прочитайте график данной функции:
а) y=(x+3)^3; г) y=-x^3-4;
б) y=(x-1)^3+2; д) y=-(x-4)^3+1;
в) y=-(x+2)^3-3; е) y=(x+5)^3-1.
Для квадратичной функции $$f(x)=ax^2+bx+c$$ абсцисса вершины равна $$x_0=-\frac{b}{2a}.$$
Если $$a>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty; x_0]$$ и возрастает на $$[x_0; +\infty).$$
Если $$a<0,$$ то функция возрастает на $$(-\infty; x_0]$$ и убывает на $$[x_0; +\infty).$$
а) $$f(x)=3x^2+12x-11,$$
$$x_0=-\frac{12}{2\cdot 3}=-2.$$
Так как $$a>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty; -2]$$ и возрастает на $$[-2; +\infty).$$
Числа $$-3{,}4<-2{,}7<-2,$$ значит на промежутке убывания при большем $$x$$ значение функции меньше:
$$f(-2{,}7)<f(-3{,}4).$$
б) $$f(x)=4{,}7x^2-9{,}4x-9,$$
$$x_0=-\frac{-9{,}4}{2\cdot 4{,}7}=1.$$
Так как $$a>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty; 1]$$ и возрастает на $$[1; +\infty).$$
Числа $$1<1{,}8<2{,}3,$$ значит на промежутке возрастания при большем $$x$$ значение функции больше:
$$f(1{,}8)<f(2{,}3).$$
в) $$f(x)=-1{,}8x^2-18x+23{,}6,$$
$$x_0=-\frac{-18}{2\cdot(-1{,}8)}=-5.$$
Так как $$a<0,$$ то функция возрастает на $$(-\infty; -5]$$ и убывает на $$[-5; +\infty).$$
Числа $$-4{,}9>-5>-3{,}7,$$ а на промежутке убывания при большем $$x$$ значение функции меньше, значит
$$f(-4{,}9)>f(-3{,}7).$$
г) $$f(x)=-4x^2+16x+15,$$
$$x_0=-\frac{16}{2\cdot(-4)}=2.$$
Так как $$a<0,$$ то функция возрастает на $$(-\infty; 2]$$ и убывает на $$[2; +\infty).$$
Числа $$2<2{,}8<3{,}2,$$ значит
$$f(2{,}8)>f(3{,}2).$$
д) $$f(x)=5{,}6x^2-22{,}4x+11,$$
$$x_0=-\frac{-22{,}4}{2\cdot 5{,}6}=2.$$
Так как $$a>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty; 2]$$ и возрастает на $$[2; +\infty).$$
Числа $$2<2{,}8<2{,}99,$$ значит
$$f(2{,}8)<f(2{,}99).$$
е) $$f(x)=-2{,}9x^2+23{,}2x-17{,}3,$$
$$x_0=-\frac{23{,}2}{2\cdot(-2{,}9)}=4.$$
Так как $$a<0,$$ то функция возрастает на $$(-\infty; 4]$$ и убывает на $$[4; +\infty).$$
Числа $$4<4{,}1<5{,}3,$$ значит
$$f(4{,}1)>f(5{,}3).$$
Для функции вида $$y=(x-h)^3+k$$ график получается из графика $$y=x^3$$ сдвигом на $$h$$ по оси $$x$$ и на $$k$$ по оси $$y$$. Кубическая функция при положительном коэффициенте при $$x^3$$ возрастает, при отрицательном — убывает.
а) $$y=(x+3)^3$$ — график $$y=x^3$$, сдвинутый на $$3$$ единицы влево.
Свойства: $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает, $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
б) $$y=(x-1)^3+2$$ — график $$y=x^3$$, сдвинутый на $$1$$ единицу вправо и на $$2$$ единицы вверх.
Свойства: $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает, $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
в) $$y=-(x+2)^3-3$$ — график $$y=x^3$$, отражённый относительно оси $$Ox,$$ затем сдвинутый на $$2$$ единицы влево и на $$3$$ единицы вниз.
Свойства: $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает, $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
г) $$y=-x^3-4$$ — график $$y=x^3$$, отражённый относительно оси $$Ox$$ и сдвинутый на $$4$$ единицы вниз.
Свойства: $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает, $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
д) $$y=-(x-4)^3+1$$ — график $$y=x^3$$, отражённый относительно оси $$Ox,$$ сдвинутый на $$4$$ единицы вправо и на $$1$$ единицу вверх.
Свойства: $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает, $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
е) $$y=(x+5)^3-1$$ — график $$y=x^3$$, сдвинутый на $$5$$ единиц влево и на $$1$$ единицу вниз.
Свойства: $$D(x)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает, $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Ответ
а) убывает на $$(-\infty;-2]$$, возрастает на $$[-2;+\infty)$$, $$f(-2{,}7)<f(-3{,}4)$$;
б) убывает на $$(-\infty;1]$$, возрастает на $$[1;+\infty)$$, $$f(1{,}8)<f(2{,}3)$$;
в) возрастает на $$(-\infty;-5]$$, убывает на $$[-5;+\infty)$$, $$f(-4{,}9)>f(-3{,}7)$$;
г) возрастает на $$(-\infty;2]$$, убывает на $$[2;+\infty)$$, $$f(2{,}8)>f(3{,}2)$$;
д) убывает на $$(-\infty;2]$$, возрастает на $$[2;+\infty)$$, $$f(2{,}8)<f(2{,}99)$$;
е) возрастает на $$(-\infty;4]$$, убывает на $$[4;+\infty)$$, $$f(4{,}1)>f(5{,}3)$$.
а) $$y=(x+3)^3$$ — сдвиг влево на $$3$$;
б) $$y=(x-1)^3+2$$ — сдвиг вправо на $$1$$ и вверх на $$2$$;
в) $$y=-(x+2)^3-3$$ — отражение относительно $$Ox,$$ сдвиг влево на $$2$$ и вниз на $$3$$;
г) $$y=-x^3-4$$ — отражение относительно $$Ox$$ и сдвиг вниз на $$4$$;
д) $$y=-(x-4)^3+1$$ — отражение относительно $$Ox,$$ сдвиг вправо на $$4$$ и вверх на $$1$$;
е) $$y=(x+5)^3-1$$ — сдвиг влево на $$5$$ и вниз на $$1$$.
