Упр.21.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) (2-3p)x^2-4x-p=0; б) (1-2p)x^2-6x-2p=0. а) Дана функция y=f(x), где f(x)=(2x^2-8)/(x^3-4x). Найдите все значения параметра р, при которых уравнение f(x)=p^2+p не имеет корней.
б) Дана функция y=f(x), где f(x)=(3x^2-27)/(x^3-9x). Найдите все значения параметра р, при которых уравнение f(x)=p^2-2p не имеет корней.
а) Рассмотрим уравнение $$ (2-3p)x^2-4x-p=0. $$
Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:
$$D=(-4)^2-4(2-3p)(-p)\ge 0.$$
$$16+8p-12p^2\ge 0.$$
$$3p^2-2p-4\le 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_p=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=4+48=52,$$
$$p_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{52}}{6}=\frac{2\pm 2\sqrt{13}}{6}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{3}.$$
Так как коэффициент при $$p^2$$ положительный, то
$$\frac{1-\sqrt{13}}{3}\le p\le \frac{1+\sqrt{13}}{3}.$$
б) Рассмотрим уравнение $$ (1-2p)x^2-6x-2p=0. $$
Для существования действительных корней требуется:
$$D=(-6)^2-4(1-2p)(-2p)\ge 0.$$
$$36+8p-16p^2\ge 0.$$
$$4p^2-2p-9\le 0.$$
Найдём корни:
$$D_p=(-2)^2-4\cdot 4\cdot(-9)=4+144=148,$$
$$p_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{148}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{37}}{8}=\frac{1\pm \sqrt{37}}{4}.$$
Следовательно,
$$\frac{1-\sqrt{37}}{4}\le p\le \frac{1+\sqrt{37}}{4}.$$
а) Дана функция
$$f(x)=\frac{2x^2-8}{x^3-4x}.$$
Упростим:
$$f(x)=\frac{2(x^2-4)}{x(x^2-4)}=\frac{2}{x},$$
при этом $$x\ne 0,\; x\ne \pm 2.$$
Тогда уравнение $$f(x)=p^2+p$$ равносильно
$$\frac{2}{x}=p^2+p.$$
Такое уравнение не имеет корней, если правая часть не принимает значения $$\frac{2}{x}$$ при допустимых $$x$$. Для функции $$\frac{2}{x}$$ возможны все ненулевые значения, кроме тех, которые исключаются областью определения исходной функции: $$y\ne 0,\; y\ne 1,\; y\ne -1.$$
Значит, нужно, чтобы
$$p^2+p\in\{-1,0,1\}.$$
1) $$p^2+p=-1 \Rightarrow p^2+p+1=0,$$ действительных решений нет.
2) $$p^2+p=1 \Rightarrow p^2+p-1=0,$$
$$p=\frac{-1\pm \sqrt5}{2}.$$
3) $$p^2+p=0 \Rightarrow p(p+1)=0,$$
$$p=0 \text{ или } p=-1.$$
Итак, подходят значения
$$p=-1,\; 0,\; \frac{-1-\sqrt5}{2},\; \frac{-1+\sqrt5}{2}.$$
б) Дана функция
$$f(x)=\frac{3x^2-27}{x^3-9x}.$$
Упростим:
$$f(x)=\frac{3(x^2-9)}{x(x^2-9)}=\frac{3}{x},$$
при этом $$x\ne 0,\; x\ne \pm 3.$$
Уравнение $$f(x)=p^2-2p$$ не имеет корней, если
$$p^2-2p\in\{-1,0,1\}.$$
1) $$p^2-2p=-1 \Rightarrow p^2-2p+1=0 \Rightarrow (p-1)^2=0,$$
$$p=1.$$
2) $$p^2-2p=1 \Rightarrow p^2-2p-1=0,$$
$$p=\frac{2\pm \sqrt8}{2}=1\pm \sqrt2.$$
3) $$p^2-2p=0 \Rightarrow p(p-2)=0,$$
$$p=0 \text{ или } p=2.$$
Следовательно,
$$p=0,\;1,\;2,\;1-\sqrt2,\;1+\sqrt2.$$
Ответ
а) $$\left[\frac{1-\sqrt{13}}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{3}\right]$$;
б) $$\left[\frac{1-\sqrt{37}}{4};\frac{1+\sqrt{37}}{4}\right]$$;
а) $$-1,\;0,\;\frac{-1-\sqrt5}{2},\;\frac{-1+\sqrt5}{2}$$;
б) $$0,\;1,\;2,\;1-\sqrt2,\;1+\sqrt2$$.
