Упр.20.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Найдите (естественную) область определения данной функции:
а) $$y=\frac{5}{x+4}$$;
г) $$y=\frac{8}{x-2}$$;
б) $$y=\frac{2x}{(3x-1)^2}$$;
д) $$y=\frac{x^3+4}{(4-x)^2}$$;
в) $$\frac{3x+11}{x(2x+6)}$$;
е) $$y=\frac{0{,}5x-4}{x^2(2x-7)}$$. - Задание учебника 2023 года. Докажите, что функция не является ни чётной, ни нечётной:
а) $$y=x^3+x^2$$;
г) $$y=x^3-2x^2$$;
б) $$y=\frac{-4x^3-2}{x}$$;
д) $$y=\frac{5x}{3x^3-1}$$;
в) $$y=x^3+vx$$;
е) $$y=2x^2-3vx$$.
Найдём область определения каждой функции.
а) $$y=\frac{5}{x+4}$$
Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$x+4\ne 0,\quad x\ne -4.$$
$$D(x)=(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty).$$
б) $$y=\frac{2x}{(3x-1)^2}$$
$$3x-1\ne 0,\quad x\ne \frac13.$$
$$D(x)=\left(-\infty;\frac13\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right).$$
в) $$y=\frac{3x+11}{x(2x+6)}$$
$$x(2x+6)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad 2x+6\ne 0,\quad x\ne -3.$$
$$D(x)=(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(0;+\infty).$$
г) $$y=\frac{8}{x-2}$$
$$x-2\ne 0,\quad x\ne 2.$$
$$D(x)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
д) $$y=\frac{x^3+4}{(4-x)^2}$$
$$4-x\ne 0,\quad x\ne 4.$$
$$D(x)=(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$
е) $$y=\frac{0{,}5x-4}{x^2(2x-7)}$$
$$x^2(2x-7)\ne 0,\quad x\ne 0,\quad 2x-7\ne 0,\quad x\ne 3{,}5.$$
$$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;3{,}5)\cup(3{,}5;+\infty).$$
Докажем, что функция не является ни чётной, ни нечётной.
а) $$y=x^3+x^2$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$y(-x)=(-x)^3+(-x)^2=-x^3+x^2.$$
Это не равно ни $$y=x^3+x^2,$$ ни $$-y=-x^3-x^2.$$ Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
б) $$y=\frac{-4x^3-2}{x}$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
$$y(-x)=\frac{-4(-x)^3-2}{-x}=\frac{4x^3-2}{-x}=\frac{2-4x^3}{x}.$$
Это не равно ни $$y,$$ ни $$-y.$$ Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.
в) $$y=x^3+\sqrt{x}$$
Область определения: $$D(x)=[0;+\infty).$$
Так как область определения не симметрична относительно нуля, функция не может быть ни чётной, ни нечётной.
г) $$y=x^3-2x^2$$
Область определения: $$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
$$y(-x)=(-x)^3-2(-x)^2=-x^3-2x^2.$$
Это не равно ни $$y=x^3-2x^2,$$ ни $$-y=-x^3+2x^2.$$ Значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
д) $$y=\frac{5x}{3x^3-1}$$
Область определения: $$D(x)=\left(-\infty;\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)\cup\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$
Область определения не симметрична относительно нуля, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.
е) $$y=2x^2-3\sqrt{x}$$
Область определения: $$D(x)=[0;+\infty).$$
Так как область определения не симметрична относительно нуля, функция не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ
а) $$(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty)$$;
б) $$\left(-\infty;\frac13\right)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$;
в) $$(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(0;+\infty)$$;
г) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$;
д) $$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$$;
е) $$(-\infty;0)\cup(0;3{,}5)\cup(3{,}5;+\infty)$$.
Функции из второго пункта не являются ни чётными, ни нечётными.
