Упр.20.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) y=x^3-3; г) y=x^3+4;
б) y=(2x+3)/5; д) y=x/(x^2+2);
в) y=|x+2|-1; е) y=|x-1|. Докажите, что функция является нечётной:
а) y=4x^3; г) y=-5x^5;
б) y=-2x^3-x; д) y=4x^3+x;
в) y=x^5+7x^3-x; е) y=2x^5-3x^3-4x.

Подробный ответ

Для многочленов, линейных функций, модулей и дроби с ненулевым знаменателем область определения — все действительные числа, если знаменатель не обращается в ноль.
а) $$y=x^3-3$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
б) $$y=\frac{2x+3}{5}$$
Знаменатель равен постоянному числу $$5\neq 0$$, значит
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
в) $$y=|x+2|-1$$
Модуль определён при любых $$x$$, поэтому
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
г) $$y=x^3+4$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
д) $$y=\frac{x}{x^2+2}$$
Так как $$x^2+2>0$$ при любом $$x$$, знаменатель не обращается в ноль. Следовательно,
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
е) $$y=|x-1|$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Докажем, что функция нечётная, то есть для неё выполняется равенство $$y(-x)=-y(x).$$
а) $$y=4x^3$$
$$y(-x)=4(-x)^3=-4x^3=-y(x).$$
б) $$y=-2x^3-x$$
$$y(-x)=-2(-x)^3-(-x)=2x^3+x=-y(x).$$
в) $$y=x^5+7x^3-x$$
$$y(-x)=(-x)^5+7(-x)^3-(-x)=-x^5-7x^3+x=-y(x).$$
г) $$y=-5x^5$$
$$y(-x)=-5(-x)^5=5x^5=-y(x).$$
д) $$y=4x^3+x$$
$$y(-x)=4(-x)^3+(-x)=-4x^3-x=-y(x).$$
е) $$y=2x^5-3x^3-4x$$
$$y(-x)=2(-x)^5-3(-x)^3-4(-x)=-2x^5+3x^3+4x=-y(x).$$