Упр.20.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) 2px^2-5px+11=0; б) 3px^2-6px-2=0. Решите неравенство:
а) (x-3)^2/(4x^2-24x+27)?0;
б) (4x^2-4x-15)/(x-1)?0.
Найдём, при каких значениях параметра уравнение имеет действительные корни.
а) $$2px^2-5px+11=0$$
Если $$p=0$$, получаем $$11=0$$ — невозможно, значит $$p\ne 0$$.
Для существования действительных корней дискриминант должен быть неотрицателен:
$$D=(-5p)^2-4\cdot 2p\cdot 11=25p^2-88p=p(25p-88)\ge 0.$$
Отсюда
$$p\le 0 \quad \text{или} \quad p\ge \frac{88}{25}.$$
б) $$3px^2-6px-2=0$$
Если $$p=0$$, получаем $$-2=0$$ — невозможно, значит $$p\ne 0$$.
Дискриминант:
$$D=(-6p)^2-4\cdot 3p\cdot(-2)=36p^2+24p=12p(3p+2)\ge 0.$$
Следовательно,
$$p\le -\frac{2}{3} \quad \text{или} \quad p\ge 0.$$
Решим неравенства.
а) $$\frac{(x-3)^2}{4x^2-24x+27}\ge 0$$
Знаменатель разложим на множители:
$$4x^2-24x+27=(2x-3)(2x-9).$$
Числитель $$ (x-3)^2\ge 0 $$ при всех $$x$$ и равен нулю при $$x=3$$.
Знаменатель обращается в нуль при $$x=\frac{3}{2}$$ и $$x=\frac{9}{2}$$, эти точки исключаем.
Так как числитель неотрицателен, дробь неотрицательна там, где знаменатель положителен, а также при $$x=3$$.
Знак знаменателя:
$$4x^2-24x+27>0 \quad \text{при} \quad x<\frac{3}{2} \ \text{или} \ x>\frac{9}{2}.$$
Итак,
$$x\in\left(-\infty;\frac{3}{2}\right)\cup\{3\}\cup\left(\frac{9}{2};+\infty\right).$$
б) $$\frac{4x^2-4x-15}{x-1}\ge 0$$
Разложим числитель на множители:
$$4x^2-4x-15=(2x-5)(2x+3).$$
Тогда
$$\frac{(2x-5)(2x+3)}{x-1}\ge 0.$$
Критические точки: $$x=-\frac{3}{2},\ 1,\ \frac{5}{2}.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in\left[-\frac{3}{2};1\right)\cup\left[\frac{5}{2};+\infty\right).$$
Ответ
а) $$(-\infty;0]\cup\left[\frac{88}{25};+\infty\right)$$;
б) $$(-\infty;-\frac{2}{3}]\cup[0;+\infty)$$;
а) $$\left(-\infty;\frac{3}{2}\right)\cup\{3\}\cup\left(\frac{9}{2};+\infty\right)$$;
б) $$\left[-\frac{3}{2};1\right)\cup\left[\frac{5}{2};+\infty\right).$$
