Упр.20.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (x^2-1)v(x-2)?0;
б) (x^2-4)v(x-5)?0. Решите систему уравнений:
а) {xy+2y^2-3x-15y=-17, x+y=9};
б) {x^2+4xy+8x-11y=215, y-x=3}.

1. а) Решим неравенство $$\left(x^2-1\right)\sqrt{x-2}\ge 0.$$

   Область определения: $$x-2\ge 0,\quad x\ge 2.$$

   Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, когда $$x^2-1\ge 0.$$

   Имеем:

   $$x^2-1=(x-1)(x+1)\ge 0,$$

   откуда $$x\le -1$$ или $$x\ge 1.$$

   С учётом области определения получаем:

   $$x\ge 2.$$

   Ответ: $$[2;+\infty).$$

2. б) Решим неравенство $$\left(x^2-4\right)\sqrt{x-5}\le 0.$$

   Область определения: $$x-5\ge 0,\quad x\ge 5.$$

   Так как $$\sqrt{x-5}\ge 0,$$ то произведение не положительно, если $$x^2-4\le 0.$$

   Имеем:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2)\le 0,$$

   откуда $$-2\le x\le 2.$$

   Пересекаем с областью определения:

   $$[-2;2]\cap [5;+\infty)=\varnothing.$$

   Но при $$x=5$$ множитель $$\sqrt{x-5}=0,$$ значит произведение равно нулю и неравенство выполняется.

   Следовательно, $$x=5.$$

   Ответ: $$\{5\}.$$

3. а) Решим систему

   $$ \begin{cases} xy+2y^2-3x-15y=-17,\\ x+y=9. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$x=9-y.$$

   Подставим в первое:

   $$y(9-y)+2y^2-3(9-y)-15y=-17,$$

   $$9y-y^2+2y^2-27+3y-15y=-17,$$

   $$y^2-3y-10=0.$$

   $$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot(-10)=9+40=49,$$

   $$y_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad y_2=\frac{3+7}{2}=5.$$

   Тогда

   $$x_1=9-(-2)=11,\qquad x_2=9-5=4.$$

   Ответ: $$(11;-2),\ (4;5).$$

4. б) Решим систему

   $$ \begin{cases} x^2+4xy+8x-11y=215,\\ y-x=3. \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$y=x+3.$$

   Подставим в первое:

   $$x^2+4x(x+3)+8x-11(x+3)=215,$$

   $$x^2+4x^2+12x+8x-11x-33=215,$$

   $$5x^2+9x-248=0.$$

   $$D=9^2-4\cdot 5\cdot(-248)=81+4960=5041,$$

   $$\sqrt{5041}=71.$$

   Тогда

   $$x_1=\frac{-9-71}{10}=-8,\qquad x_2=\frac{-9+71}{10}=6{,}2.$$

   Найдём $$y$$:

   $$y_1=-8+3=-5,\qquad y_2=6{,}2+3=9{,}2.$$

   Ответ: $$(-8;-5),\ (6{,}2;9{,}2).$$