Упр.20.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года.
Решите систему уравнений:
а) $$\left\{\begin{aligned} x-y-\frac{x}{y}&=11,\\ (x-y)\frac{x}{y}&=12; \end{aligned}\right.$$
б) $$\left\{\begin{aligned} x-2y-\frac{x}{2y}&=2,\\ (x-2y)\frac{x}{2y}&=8. \end{aligned}\right.$$ - Задание учебника 2023 года.
а) Дана функция $$y=f(x),$$ где $$f(x)=\begin{cases}-2(x-1)^2+3,& \text{если } x<0;\\ g(x),& \text{если } x?0.\end{cases}$$ Задайте $$g(x)$$ так, чтобы функция $$y=f(x)$$ была чётной.
б) Дана функция $$y=f(x),$$ где $$f(x)=\begin{cases}-2(x-1)^2+3,& \text{если } x<0;\\ g(x),& \text{если } x>0.\end{cases}$$ Задайте $$g(x)$$ так, чтобы функция $$y=f(x)$$ была нечётной.
а) Обозначим $$a=x-y,$$ $$b=\frac{x}{y}.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} a-b=11,\\ ab=12. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=b+11$$. Подставим во второе:
$$b(b+11)=12$$
$$b^2+11b-12=0$$
$$D=11^2+4\cdot 12=169$$
$$b_1=\frac{-11-13}{2}=-12,\qquad b_2=\frac{-11+13}{2}=1.$$
Тогда:
1) $$b=-12,\ a=-1.$$ Получаем
$$x-y=-1,\qquad \frac{x}{y}=-12.$$
Из $$y=x+1$$ и $$x=-12(x+1)$$ имеем
$$13x=-12,\qquad x=-\frac{12}{13},\qquad y=\frac{1}{13}.$$
2) $$b=1,\ a=12.$$ Тогда
$$x-y=12,\qquad \frac{x}{y}=1.$$
Из $$x=y$$ и $$x-y=12$$ получаем противоречие, значит этот случай не подходит.
б) Обозначим $$a=x-2y,$$ $$b=\frac{x}{2y}.$$ Тогда
$$\begin{cases} a-b=2,\\ ab=8. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$a=b+2$$. Подставим во второе:
$$b(b+2)=8$$
$$b^2+2b-8=0$$
$$D=2^2+4\cdot 8=36$$
$$b_1=\frac{-2-6}{2}=-4,\qquad b_2=\frac{-2+6}{2}=2.$$
Тогда:
1) $$b=-4,\ a=-2.$$ Получаем
$$x-2y=-2,\qquad \frac{x}{2y}=-4.$$
Из $$x=2y-2$$ и $$x=-8y$$:
$$2y-2=-8y,\qquad 10y=2,\qquad y=\frac15,$$
$$x=2\cdot \frac15-2=-\frac85=-1\frac35.$$
2) $$b=2,\ a=4.$$ Тогда
$$x-2y=4,\qquad \frac{x}{2y}=2.$$
Из $$x=2y+4$$ и $$x=4y$$:
$$4y=2y+4,\qquad 2y=4,\qquad y=2,$$
$$x=8.$$
а) Чтобы функция была чётной, нужно выполнить $$f(-x)=f(x).$$
Для $$x>0$$ имеем $$-x<0,$$ значит
$$g(x)=f(-x)=-2((-x)-1)^2+3=-2(x+1)^2+3.$$
б) Чтобы функция была нечётной, нужно выполнить $$f(-x)=-f(x).$$
Для $$x>0$$ имеем $$-x<0,$$ значит
$$g(x)=-f(-x)=-\bigl(-2((-x)-1)^2+3\bigr)=2(x+1)^2-3.$$
Ответ
а) $$\left(-\frac{12}{13};\frac{1}{13}\right).$$
б) $$\left(-\frac15;\frac15\right),\ (8;2).$$
а) $$g(x)=-2(x+1)^2+3.$$
б) $$g(x)=2(x+1)^2-3.$$
