Упр.20.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) (3b+10)/(b+4)+((b-4)/(b+6))^2·((b+21)/(16-8b+b^2)+(b+3)/(b^2-16));
б) ((a+5)/(a^2-81)+(a+7)/(a^2-18a+81)):((a+3)/(a-9))^2+(a+7)/(a+9). а) Дана функция y=f(x), где f(x)={(x+1)^2+2, если x<0; g(x), если x?0}. Задайте g(x) так, чтобы функция y=f(x) была чётной. б) Дана функция y=f(x), где f(x)={(x+1)^2+2, если x<0; g(x), если x>0}. Задайте g(x) так, чтобы функция y=f(x) была нечётной.

1. а) Упростим выражение:

   $$\frac{3b+10}{b+4}+\left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot\left(\frac{b+21}{16-8b+b^2}+\frac{b+3}{b^2-16}\right)$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$16-8b+b^2=(b-4)^2,\qquad b^2-16=(b-4)(b+4)$$

   Тогда

   $$ \left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot\left(\frac{b+21}{(b-4)^2}+\frac{b+3}{(b-4)(b+4)}\right) $$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

   $$ \frac{(b+21)(b+4)+(b+3)(b-4)}{(b-4)^2(b+4)} $$

   Числитель:

   $$ (b+21)(b+4)+(b+3)(b-4)=b^2+25b+84+b^2-b-12=2b^2+24b+72=2(b+6)^2 $$

   Тогда

   $$ \left(\frac{b-4}{b+6}\right)^2\cdot \frac{2(b+6)^2}{(b-4)^2(b+4)}=\frac{2}{b+4} $$

   Теперь складываем:

   $$ \frac{3b+10}{b+4}+\frac{2}{b+4}=\frac{3b+12}{b+4}=\frac{3(b+4)}{b+4}=3 $$

2. б) Упростим выражение:

   $$ \left(\frac{a+5}{a^2-81}+\frac{a+7}{a^2-18a+81}\right):\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2+\frac{a+7}{a+9} $$

   Разложим знаменатели:

   $$a^2-81=(a-9)(a+9),\qquad a^2-18a+81=(a-9)^2$$

   Тогда

   $$ \frac{a+5}{(a-9)(a+9)}+\frac{a+7}{(a-9)^2} =\frac{(a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)}{(a-9)^2(a+9)} $$

   Числитель:

   $$ (a+5)(a-9)+(a+7)(a+9)=a^2-4a-45+a^2+16a+63=2a^2+12a+18=2(a+3)^2 $$

   Получаем:

   $$ \frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}:\left(\frac{a+3}{a-9}\right)^2 =\frac{2(a+3)^2}{(a-9)^2(a+9)}\cdot\frac{(a-9)^2}{(a+3)^2} =\frac{2}{a+9} $$

   Тогда всё выражение равно:

   $$ \frac{2}{a+9}+\frac{a+7}{a+9}=\frac{a+9}{a+9}=1 $$

3. а) Чтобы функция была чётной, нужно, чтобы для $x>0$ выполнялось

   $$g(x)=f(-x)$$

   При $x>0$ имеем $-x<0$, значит

   $$ g(x)=((-x)+1)^2+2=(x-1)^2+2 $$

4. б) Чтобы функция была нечётной, нужно, чтобы для $x>0$ выполнялось

   $$g(x)=-f(-x)$$

   Тогда

   $$ g(x)=-\bigl(((-x)+1)^2+2\bigr)=-\bigl((x-1)^2+2\bigr)=-(x-1)^2-2 $$

Ответ

а) $$3$$

б) $$1$$

в) $$g(x)=(x-1)^2+2$$

г) $$g(x)=-(x-1)^2-2$$