Упр.20.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) f(x)=(-1)^x·x, x?N;
б) f(x)=(-1)^x/x, x?N. а) Дана функция y=f(x), где f(x)={x+2, если x<0; g(x), если x?0}. Задайте g(x) так, чтобы функция y=f(x) была чётной. б) Дана функция y=f(x), где f(x)={x+2, если x<0; g(x), если x>0}. Задайте g(x) так, чтобы функция y=f(x) была нечётной.

1. а) Для $$f(x)=(-1)^x\cdot x,\ x\in \mathbb{N}$$ рассмотрим чётные и нечётные значения $$x$$.

   Если $$x=2k$$, то

   $$f(x)=(-1)^{2k}\cdot x=x.$$

   Если $$x=2k+1$$, то

   $$f(x)=(-1)^{2k+1}\cdot x=-x.$$

   Значит, график состоит из точек вида $$\left(2k,\,2k\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-(2k+1)\right)$$.

2. б) Для $$f(x)=\dfrac{(-1)^x}{x},\ x\in \mathbb{N}$$ аналогично:

   если $$x=2k$$, то

   $$f(x)=\dfrac{(-1)^{2k}}{x}=\dfrac{1}{x};$$

   если $$x=2k+1$$, то

   $$f(x)=\dfrac{(-1)^{2k+1}}{x}=-\dfrac{1}{x}.$$

   График состоит из точек $$\left(2k,\,\dfrac{1}{2k}\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-\dfrac{1}{2k+1}\right)$$.

3. а) Пусть

   $$f(x)= \begin{cases} x+2, & x<0,\\ g(x), & x\ge 0. \end{cases}$$

   Чтобы функция была чётной, должно выполняться $$f(-x)=f(x)$$. Для $$x>0$$ имеем $$f(-x)=-x+2$$, значит

   $$g(x)=-x+2=2-x.$$

4. б) Пусть

   $$f(x)= \begin{cases} x+2, & x<0,\\ g(x), & x>0. \end{cases}$$

   Чтобы функция была нечётной, должно выполняться $$f(-x)=-f(x)$$. Для $$x>0$$ имеем $$f(-x)=-x+2$$, поэтому

   $$g(x)=x-2.$$

Ответ

а) точки $$\left(2k,\,2k\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-(2k+1)\right)$$, $$k\in \mathbb{N}$$;

б) точки $$\left(2k,\,\dfrac{1}{2k}\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-\dfrac{1}{2k+1}\right)$$, $$k\in \mathbb{N}$$;

а) $$g(x)=2-x$$;

б) $$g(x)=x-2$$.