Упр.20.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Задание учебника 2025 года. Постройте график функции $$y=f(x)$$, где:
а) $$f(x)=(-1)^x\cdot x,\quad x\in\mathbb{N}$$;
б) $$f(x)=\frac{(-1)^x}{x},\quad x\in\mathbb{N}$$. - Задание учебника 2023 года.
а) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x+2, & \text{если } x<0;\\g(x), & \text{если } x\ge 0.\end{cases}$$ Задайте $$g(x)$$ так, чтобы функция $$y=f(x)$$ была чётной.
б) Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x+2, & \text{если } x<0;\\g(x), & \text{если } x>0.\end{cases}$$ Задайте $$g(x)$$ так, чтобы функция $$y=f(x)$$ была нечётной.
а) Для $$f(x)=(-1)^x\cdot x,\ x\in \mathbb{N}$$ рассмотрим чётные и нечётные значения $$x$$.
Если $$x=2k$$, то
$$f(x)=(-1)^{2k}\cdot x=x.$$
Если $$x=2k+1$$, то
$$f(x)=(-1)^{2k+1}\cdot x=-x.$$
Значит, график состоит из точек вида $$\left(2k,\,2k\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-(2k+1)\right)$$.
б) Для $$f(x)=\dfrac{(-1)^x}{x},\ x\in \mathbb{N}$$ аналогично:
если $$x=2k$$, то
$$f(x)=\dfrac{(-1)^{2k}}{x}=\dfrac{1}{x};$$
если $$x=2k+1$$, то
$$f(x)=\dfrac{(-1)^{2k+1}}{x}=-\dfrac{1}{x}.$$
График состоит из точек $$\left(2k,\,\dfrac{1}{2k}\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-\dfrac{1}{2k+1}\right)$$.
а) Пусть
$$f(x)= \begin{cases} x+2, & x<0,\\ g(x), & x\ge 0. \end{cases}$$
Чтобы функция была чётной, должно выполняться $$f(-x)=f(x)$$. Для $$x>0$$ имеем $$f(-x)=-x+2$$, значит
$$g(x)=-x+2=2-x.$$
б) Пусть
$$f(x)= \begin{cases} x+2, & x<0,\\ g(x), & x>0. \end{cases}$$
Чтобы функция была нечётной, должно выполняться $$f(-x)=-f(x)$$. Для $$x>0$$ имеем $$f(-x)=-x+2$$, поэтому
$$g(x)=x-2.$$
Ответ
а) точки $$\left(2k,\,2k\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-(2k+1)\right)$$, $$k\in \mathbb{N}$$;
б) точки $$\left(2k,\,\dfrac{1}{2k}\right)$$ и $$\left(2k+1,\,-\dfrac{1}{2k+1}\right)$$, $$k\in \mathbb{N}$$;
а) $$g(x)=2-x$$;
б) $$g(x)=x-2$$.
