Упр.20.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) f(x)=v(x-4)+v(4-x)+x;
б) f(x)=v(x-5)-v(5-x)-x. а) Представьте функцию y=f(x), где f(x)=5x^6+8x^5-3x^4-2x^3+x^2-1, в виде суммы чётной и нечётной функций.
б) Представьте функцию y=f(x), где f(x)=3x^5-7x^4+11x^3-4x^2-3x+5, в виде суммы чётной и нечётной функций.

а) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x-4}+\sqrt{4-x}+x.$$

Для существования корней нужно, чтобы одновременно выполнялись условия:

$$x-4\ge 0,\qquad 4-x\ge 0.$$

Отсюда получаем:

$$x\ge 4,\qquad x\le 4,$$

значит, $$x=4.$$

Тогда

$$f(4)=\sqrt{4-4}+\sqrt{4-4}+4=0+0+4=4.$$

Следовательно, график функции состоит из одной точки $$\left(4;4\right).$$

б) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{x-5}-\sqrt{5-x}-x.$$

Для существования корней нужно, чтобы

$$x-5\ge 0,\qquad 5-x\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge 5,\qquad x\le 5,$$

значит, $$x=5.$$

Тогда

$$f(5)=\sqrt{5-5}-\sqrt{5-5}-5=0-0-5=-5.$$

Следовательно, график функции состоит из одной точки $$\left(5;-5\right).$$

Сумма чётной и нечётной функций:

а)

$$f(x)=5x^6+8x^5-3x^4-2x^3+x^2-1,$$

чётная часть:

$$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=5x^6-3x^4+x^2-1,$$

нечётная часть:

$$\frac{f(x)-f(-x)}{2}=8x^5-2x^3.$$

Значит,

$$f(x)=\left(5x^6-3x^4+x^2-1\right)+\left(8x^5-2x^3\right).$$

б)

$$f(x)=3x^5-7x^4+11x^3-4x^2-3x+5,$$

чётная часть:

$$\frac{f(x)+f(-x)}{2}=-7x^4-4x^2+5,$$

нечётная часть:

$$\frac{f(x)-f(-x)}{2}=3x^5+11x^3-3x.$$

Значит,

$$f(x)=\left(5-7x^4-4x^2\right)+\left(3x^5+11x^3-3x\right).$$

Ответ

а) $$\left(4;4\right).$$ б) $$\left(5;-5\right).$$

а) $$f(x)=\left(5x^6-3x^4+x^2-1\right)+\left(8x^5-2x^3\right).$$

б) $$f(x)=\left(5-7x^4-4x^2\right)+\left(3x^5+11x^3-3x\right).$$