Упр.20.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)=\begin{cases}-\dfrac{3}{x},&\text{если }x<0;\\x+2,&\text{если }0\leqslant x\leqslant 3.\end{cases}$$
а) Укажите $$D(f)$$;
б) Вычислите $$f(-3),\ f(-1),\ f(0),\ f(3),\ f(6)$$;
в) Постройте график функции $$y=f(x)$$;
г) Найдите $$E(f)$$.
а) Известно, что функция $$y=f(x)$$ — нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$. Верно ли, что при $$x>0$$ она ограничена сверху?
б) Известно, что функция $$y=f(x)$$ — нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$. Верно ли, что при $$x>0$$ она ограничена снизу?
Дана функция
$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{3}{x}, & x<0,\\ x+2, & 0\le x\le 3. \end{cases}$$
Найдём область определения. Первая часть задана при $$x<0$$, вторая — при $$0\le x\le 3$$. Значит,
$$D(f)=(-\infty;3].$$
Вычислим значения функции:
$$f(-3)=-\dfrac{3}{-3}=1,\qquad f(-1)=-\dfrac{3}{-1}=3,$$
$$f(0)=0+2=2,\qquad f(3)=3+2=5.$$
Так как $$6\notin D(f)$$, то $$f(6)$$ не существует.
Построим график функции. При $$x<0$$ это ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{3}{x}$$, а при $$0\le x\le 3$$ — отрезок прямой $$y=x+2$$ от точки $$\left(0;2\right)$$ до точки $$\left(3;5\right)$$.
Найдём область значений. Для $$x<0$$ имеем $$-\dfrac{3}{x}>0$$, причём значения могут быть сколь угодно малыми положительными и сколь угодно большими. На отрезке $$0\le x\le 3$$ значения функции лежат от $$2$$ до $$5$$. Поэтому
$$E(f)=(0;+\infty).$$
Если функция нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$, то при $$x>0$$ она ограничена снизу. Действительно, для нечётной функции из ограничения сверху слева следует соответствующее ограничение снизу справа.
Ответ: да.
Если функция нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$, то при $$x>0$$ она не обязана быть ограниченной сверху. Это неверно.
Ответ: нет.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;3]$$;
б) $$f(-3)=1,\ f(-1)=3,\ f(0)=2,\ f(3)=5,\ f(6)$$ не существует;
в) график состоит из ветви $$y=-\dfrac{3}{x}$$ при $$x<0$$ и отрезка $$y=x+2$$ при $$0\le x\le 3$$;
г) $$E(f)=(0;+\infty)$$;
а) да;
б) нет.
