Упр.20.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Укажите D(f);
б) Вычислите f(-3), f(-1), f(0), f(3), f(6);
в) Постройте график функции y=f(x);
г) Найдите E(f). а) Известно, что функция y=f(x) — нечётная и ограничена сверху при x<0. Верно ли, что при x>0 она ограничена сверху?
б) Известно, что функция y=f(x) — нечётная и ограничена сверху при x<0. Верно ли, что при x>0 она ограничена снизу?

Дана функция

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{3}{x}, & x<0,\\ x+2, & 0\le x\le 3. \end{cases} $$

1. Найдём область определения. Первая часть задана при $$x<0$$, вторая — при $$0\le x\le 3$$. Значит,

   $$D(f)=(-\infty;3].$$

2. Вычислим значения функции:

   $$ f(-3)=-\dfrac{3}{-3}=1,\qquad f(-1)=-\dfrac{3}{-1}=3, $$

   $$ f(0)=0+2=2,\qquad f(3)=3+2=5. $$

   Так как $$6\notin D(f)$$, то $$f(6)$$ не существует.

3. Построим график функции. При $$x<0$$ это ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{3}{x}$$, а при $$0\le x\le 3$$ — отрезок прямой $$y=x+2$$ от точки $$\left(0;2\right)$$ до точки $$\left(3;5\right)$$.

4. Найдём область значений. Для $$x<0$$ имеем $$-\dfrac{3}{x}>0$$, причём значения могут быть сколь угодно малыми положительными и сколь угодно большими. На отрезке $$0\le x\le 3$$ значения функции лежат от $$2$$ до $$5$$. Поэтому

   $$E(f)=(0;+\infty).$$

5. Если функция нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$, то при $$x>0$$ она ограничена снизу. Действительно, для нечётной функции из ограничения сверху слева следует соответствующее ограничение снизу справа.

   Ответ: да.

6. Если функция нечётная и ограничена сверху при $$x<0$$, то при $$x>0$$ она не обязана быть ограниченной сверху. Это неверно.

   Ответ: нет.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;3]$$;

б) $$f(-3)=1,\ f(-1)=3,\ f(0)=2,\ f(3)=5,\ f(6)$$ не существует;

в) график состоит из ветви $$y=-\dfrac{3}{x}$$ при $$x<0$$ и отрезка $$y=x+2$$ при $$0\le x\le 3$$;

г) $$E(f)=(0;+\infty)$$;

а) да;

б) нет.