Дополнительная задача 2 Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) b_1; б) b_2; в) n, если b_n=0; г) все n, если b_n<0; д) на каком месте в последовательности стоит её наименьший член; е) наименьший член последовательности. Какое число стоит в треугольнике Паскаля в седьмой строке на месте: а) № 0 и № 7; в) № 2; д) № 4; б) № 1 и № 6; г) № 3; е) № 5?
Рассмотрим последовательность $$b_n=3n^2-40n+77.$$
Найдём первые члены:
$$b_1=3\cdot 1^2-40\cdot 1+77=3-40+77=40,$$
$$b_2=3\cdot 2^2-40\cdot 2+77=12-80+77=9.$$
Найдём, при каких $$n$$ выполняется $$b_n=0$$:
$$3n^2-40n+77=0.$$
$$D=(-40)^2-4\cdot 3\cdot 77=1600-924=676,$$
$$\sqrt{D}=26.$$
Тогда
$$n=\frac{40\pm 26}{2\cdot 3}=\frac{40\pm 26}{6}.$$
$$n_1=\frac{14}{6}=\frac{7}{3},\qquad n_2=\frac{66}{6}=11.$$
Из натуральных значений подходит только $$n=11.$$
Найдём, при каких $$n$$ выполняется $$b_n<0$$:
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$3n^2-40n+77<0 \iff \frac{7}{3}<n<11.$$
Для натуральных $$n$$ получаем:
$$n=3,4,5,6,7,8,9,10.$$
Найдём наименьший член последовательности. Вершина параболы соответствует
$$n_0=\frac{-(-40)}{2\cdot 3}=\frac{40}{6}=\frac{20}{3}.$$
Значит, наименьший член достигается при ближайшем натуральном значении $$n=7$$.
Проверим:
$$b_6=3\cdot 6^2-40\cdot 6+77=108-240+77=-55,$$
$$b_7=3\cdot 7^2-40\cdot 7+77=147-280+77=-56.$$
Следовательно, наименьший член стоит на 7-м месте и равен $$-56.$$
Теперь найдём числа в 7-й строке треугольника Паскаля:
$$C_7^0=1,\quad C_7^1=7,\quad C_7^2=21,\quad C_7^3=35,\quad C_7^4=35,\quad C_7^5=21,\quad C_7^6=7,\quad C_7^7=1.$$
Ответ
а) $$40$$; б) $$9$$; в) $$11$$; г) $$3,4,5,6,7,8,9,10$$; д) $$7$$; е) $$-56$$.
В треугольнике Паскаля: а) $$1$$; б) $$7$$; в) $$21$$; г) $$35$$; д) $$35$$; е) $$21$$.
