Дополнительная задача 2 Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) произведению числа, увеличенного на 1, и противоположного числа, увеличенного на 1;
б) произведению удвоенного числа, уменьшенного на 3, и утроенного числа, увеличенного на 2;
в) произведению квадрата числа и куба половины противоположного числа;
г) частному от деления числа на его квадрат, увеличенный на 7;
д) частному от деления суммы утроенного числа и куба удвоенного числа на модуль числа, увеличенный на 2;
е) квадратному корню из суммы числа 2 и частного от деления на квадрат числа его четвёртой степени, увеличенной на 1. Для последовательности b_n=3n^2-40n+77 найдите:
а) b_1; б) b_2; в) n, если b_n=0; г) все n, если b_n<0;
д) на каком месте в последовательности стоит её наименьший член;
е) наименьший член последовательности.
Составим формулы для функции.
а) Произведение числа, увеличенного на 1, и противоположного числа, увеличенного на 1:
$$y=(x+1)(-x+1)=1-x^2.$$
б) Произведение удвоенного числа, уменьшенного на 3, и утроенного числа, увеличенного на 2:
$$y=(2x-3)(3x+2)=6x^2+4x-9x-6=6x^2-5x-6.$$
в) Произведение квадрата числа и куба половины противоположного числа:
$$y=x^2\cdot\left(-\frac{x}{2}\right)^3=-\frac18x^5.$$
г) Частное от деления числа на его квадрат, увеличенный на 7:
$$y=\frac{x}{x^2+7}.$$
д) Частное от деления суммы утроенного числа и куба удвоенного числа на модуль числа, увеличенный на 2:
$$y=\frac{3x+(2x)^3}{|x|+2}=\frac{8x^3+3x}{|x|+2}.$$
е) Квадратный корень из суммы числа 2 и частного от деления на квадрат числа его четвёртой степени, увеличенной на 1:
$$y=\sqrt{2+\frac{x^4+1}{x^2}}=\sqrt{\frac{x^4+2x^2+1}{x^2}}=\sqrt{\frac{(x^2+1)^2}{x^2}}=\frac{|x^2+1|}{|x|}=|x|+\frac1{|x|}.$$
Для последовательности $$b_n=3n^2-40n+77$$ найдём требуемые значения.
а) $$b_1=3-40+77=40.$$
б) $$b_2=12-80+77=9.$$
в) Найдём, при каких $$n$$ выполняется $$b_n=0$$:
$$3n^2-40n+77=0.$$
$$D=40^2-4\cdot 3\cdot 77=1600-924=676,$$
$$n=\frac{40\pm 26}{2\cdot 3}.$$
Получаем:
$$n_1=\frac{14}{6}=\frac73,\qquad n_2=\frac{66}{6}=11.$$
Натуральных значений $$n$$, при которых $$b_n=0$$, нет.
г) Решим неравенство:
$$3n^2-40n+77<0.$$
Корни квадратного трёхчлена: $$n=\frac73$$ и $$n=11$$, значит
$$\frac73<n<11.$$
Для натуральных $$n$$ это:
$$n=3,4,\ldots,10.$$
д) Найдём номер наименьшего члена последовательности. Вершина параболы:
$$n_0=\frac{40}{2\cdot 3}=\frac{20}{3}.$$
Значит, наименьший член достигается при ближайшем натуральном числе $$n=7$$.
Проверим:
$$b_6=108-240+77=-55,$$
$$b_7=147-280+77=-56.$$
Следовательно, наименьший член стоит на 7-м месте.
е) Наименьший член последовательности:
$$b_7=-56.$$
Ответ
а) $$y=1-x^2$$; б) $$y=6x^2-5x-6$$; в) $$y=-\frac18x^5$$; г) $$y=\frac{x}{x^2+7}$$; д) $$y=\frac{8x^3+3x}{|x|+2}$$; е) $$y=|x|+\frac1{|x|}$$; для последовательности: а) $$40$$; б) $$9$$; в) натуральных решений нет; г) $$n=3,4,\ldots,10$$; д) $$7$$; е) $$-56$$.
