Упр.19.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

В закрытой коробке лежат одинаковые по форме и размеру шариковые ручки: 5 синих, 3 чёрные и 2 красные. Наудачу поочерёдно будут выбраны две ручки. Найдите вероятность того, что выберут: а) синюю и затем чёрную ручки; б) чёрную и затем синюю ручки; в) синюю и затем красную ручки; г) две синие ручки; д) две не синие ручки; е) не красную и затем не чёрную ручки.
Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция убывает: а) $$y=|x|+9,\quad x\leqslant 0$$; б) $$y=-|x+3|-1,\quad x\geqslant -3$$; в) $$y=5|x-1|+4,\quad x\leqslant 1$$; г) $$y=-|x|-12,\quad x\geqslant 0$$; д) $$y=|x-8|+3,\quad x\leqslant 8$$; е) $$y=-4|x+5|-2,\quad x\geqslant -5$$.

Подробный ответ

Обозначим количество ручек: синих — $$5$$, чёрных — $$3$$, красных — $$2$$. Всего ручек $$5+3+2=10$$.

При последовательном выборе без возвращения вероятность каждого следующего события считаем по оставшемуся числу ручек.

а) Синюю, затем чёрную:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{1}{6}$$
б) Чёрную, затем синюю:
$$P=\frac{3}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{1}{6}$$
в) Синюю, затем красную:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{2}{9}=\frac{1}{9}$$
г) Две синие ручки:
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$
д) Две не синие ручки:
Не синих ручек $$3+2=5$$.
$$P=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$
е) Не красную, затем не чёрную:
Не красных ручек $$5+3=8$$, не чёрных — $$5+2=7$$.
Но вторую ручку нужно считать с учётом первой, поэтому возможны два случая:
1) сначала взяли синюю: $$\frac{5}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{35}{90}$$;
2) сначала взяли чёрную: $$\frac{3}{10}\cdot\frac{7}{9}=\frac{21}{90}$$.
Тогда
$$P=\frac{35}{90}+\frac{21}{90}=\frac{56}{90}=\frac{28}{45}$$

Для убывания функции используем свойства модуля.

а) $$y=|x|+9,\ x\le 0$$.
Если $$x_1<x_2\le 0$$, то $$|x_1|>|x_2|$$, значит
$$|x_1|+9>|x_2|+9$$
Следовательно, функция убывает.
б) $$y=-|x+3|-1,\ x\ge -3$$.
Если $$x_1<x_2$$, то $$x_1+3<x_2+3$$ и при $$x\ge -3$$ имеем $$|x+3|=x+3$$. Тогда
$$-|x_1+3|-1>-|x_2+3|-1$$
Значит, функция убывает.
в) $$y=5|x-1|+4,\ x\le 1$$.
Если $$x_1<x_2\le 1$$, то $$|x_1-1|>|x_2-1|$$, поэтому
$$5|x_1-1|+4>5|x_2-1|+4$$
Следовательно, функция убывает.
г) $$y=-|x|-12,\ x\ge 0$$.
Если $$x_1<x_2$$, то $$|x_1|<|x_2|$$, значит
$$-|x_1|-12>-|x_2|-12$$
Функция убывает.
д) $$y=|x-8|+3,\ x\le 8$$.
Если $$x_1<x_2\le 8$$, то $$|x_1-8|>|x_2-8|$$, следовательно
$$|x_1-8|+3>|x_2-8|+3$$
Функция убывает.
е) $$y=-4|x+5|-2,\ x\ge -5$$.
Если $$x_1<x_2$$, то $$|x_1+5|<|x_2+5|$$, значит
$$-4|x_1+5|-2>-4|x_2+5|-2$$
Функция убывает.