Упр.19.7 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) P(A/B); г) P(A/!C);
б) P(A/!B); д) P(C/B);
в) P(A/C); е) P(C/!A). Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция убывает:
а) y=-3x^2, x?0;
б) y=(x-5)^2, x?5;
в) y=-2v(x-12)+8;
г) y=5x^2, x?0;
д) y=-(x+11)^2, x?-11;
е) y=-7v(x+16)-4.

Подробный ответ

При бросании монеты трижды всего возможны $$2^3=8$$ равновероятных исходов.

Обозначим:

$$A$$ — решка выпала ровно дважды;
$$B$$ — решка выпала ровно три раза;
$$C$$ — орёл выпал не менее двух раз.

Тогда:

$$P(A)=\dfrac{3}{8}$$;
$$P(B)=\dfrac{1}{8}$$;
$$P(C)=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$.

Найдём условные вероятности.

а) $$P(A/B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}=0,$$ так как события $$A$$ и $$B$$ несовместны.

б) $$P(A/\overline{B})=\dfrac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\dfrac{P(A)}{1-P(B)}=\dfrac{\frac{3}{8}}{1-\frac{1}{8}}=\dfrac{3}{7}.$$

в) $$P(A/C)=\dfrac{P(AC)}{P(C)}=0,$$ так как события $$A$$ и $$C$$ несовместны.

г) $$P(A/\overline{C})=\dfrac{P(A\overline{C})}{P(\overline{C})}=\dfrac{P(A)}{1-P(C)}=\dfrac{\frac{3}{8}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{3}{4}.$$

д) $$P(C/B)=\dfrac{P(CB)}{P(B)}=0,$$ так как события $$C$$ и $$B$$ несовместны.

е) $$P(C/\overline{A})=\dfrac{P(C\overline{A})}{P(\overline{A})}=\dfrac{P(C)}{1-P(A)}=\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{3}{8}}=\dfrac{4}{5}.$$

Теперь докажем убывание функций.

а) $$y=-3x^2,\ x\ge 0.$$ Если $$x_2>x_1\ge 0,$$, то $$x_2^2>x_1^2$$, значит $$-3x_2^2<-3x_1^2$$. Следовательно, функция убывает.

б) $$y=(x-5)^2,\ x\le 5.$$ Если $$x_1<x_2\le 5,$$, то $$x_1-5<x_2-5\le 0$$, поэтому $$|x_1-5|>|x_2-5|$$ и $$ (x_1-5)^2>(x_2-5)^2$$. Значит, функция убывает.

в) $$y=-2\sqrt{x-12}+8,\ x\ge 12.$$ Если $$x_2>x_1\ge 12,$$, то $$x_2-12>x_1-12\ge 0$$, значит $$\sqrt{x_2-12}>\sqrt{x_1-12}$$. Умножая на $$-2$$, получаем $$-2\sqrt{x_2-12}<-2\sqrt{x_1-12}$$, следовательно, $$y$$ убывает.

г) $$y=5x^2,\ x\le 0.$$ Если $$x_1<x_2\le 0,$$, то $$|x_1|>|x_2|$$, значит $$x_1^2>x_2^2$$ и $$5x_1^2>5x_2^2$$. Следовательно, функция убывает.

д) $$y=-(x+11)^2,\ x\ge -11.$$ Если $$x_2>x_1\ge -11,$$, то $$x_2+11>x_1+11\ge 0$$, значит $$ (x_2+11)^2>(x_1+11)^2$$, а потому $$-(x_2+11)^2<-(x_1+11)^2$$. Функция убывает.

е) $$y=-7\sqrt{x+16}-4,\ x\ge -16.$$ Если $$x_2>x_1\ge -16,$$, то $$x_2+16>x_1+16\ge 0$$, значит $$\sqrt{x_2+16}>\sqrt{x_1+16}$$. Умножая на $$-7$$, получаем $$-7\sqrt{x_2+16}<-7\sqrt{x_1+16}$$, следовательно, функция убывает.