Упр.19.6 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Монету бросают трижды. Для событий $A$ — «выпадение ровно одной „решки“», и $B$ — «выпадение ровно одного „орла“» найдите условную вероятность: а) $$P(A/B)$$; б) $$P(B/A)$$; в) $$P(!B/A)$$; г) $$P(A/!B)$$; д) $$P(!A/B)$$; е) $$P(!B/!A)$$.
Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция убывает: а) $$y=-2x+3$$; б) $$y=-\frac{1}{3}x-5$$; в) $$y=\frac{1}{x},\ x>0$$; г) $$y=-3x-4$$; д) $$y=-\frac{3}{5}x+4$$; е) $$y=\frac{4}{x},\ x<0$$.

Подробный ответ

Одну монету бросают трижды. Тогда всего равновозможных исходов $$2^3=8.$$

Событие $$A$$ — выпала ровно одна решка, значит $$P(A)=\frac{3}{8}.$$

Событие $$B$$ — выпал ровно один орёл, значит $$P(B)=\frac{3}{8}.$$

Событие $$\overline{A}$$ — не выпала ровно одна решка, то есть выпало 0, 2 или 3 решки, поэтому $$P(\overline{A})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}.$$

Событие $$\overline{B}$$ — не выпал ровно один орёл, значит $$P(\overline{B})=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}.$$

Так как при трёх бросках монеты событие $$A$$ означает ровно одну решку, то это же самое, что ровно два орла. Следовательно, события $$A$$ и $$B$$ несовместны, поэтому

$$P(AB)=0,\qquad P(BA)=0.$$

Тогда:

а) $$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0}{3/8}=0;$$

б) $$P(B\mid A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{0}{3/8}=0;$$

в) $$P(\overline{B}\mid A)=\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)}=1;$$

г) $$P(A\mid \overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{3/8}{5/8}=\frac{3}{5};$$

д) $$P(\overline{A}\mid B)=\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}=\frac{P(B)}{P(B)}=1;$$

е) $$P(\overline{B}\mid \overline{A})=\frac{P(\overline{B}\,\overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{2/8}{5/8}=\frac{2}{5}.$$

Докажем, что функция убывает.

а) $$y=-2x+3.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$-2x_2<-2x_1,$$ значит $$-2x_2+3<-2x_1+3.$$ Следовательно, функция убывает.

б) $$y=-\frac13x-5.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$-\frac13x_2<-\frac13x_1,$$ значит $$-\frac13x_2-5<-\frac13x_1-5.$$ Следовательно, функция убывает.

в) $$y=\frac1x,\quad x>0.$$ Если $$x_2>x_1>0,$$ то $$\frac1{x_2}<\frac1{x_1},$$ значит функция убывает на $$x>0.$$

г) $$y=-3x-4.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$-3x_2<-3x_1,$$ значит $$-3x_2-4<-3x_1-4.$$ Следовательно, функция убывает.

д) $$y=-\frac35x+4.$$ Если $$x_2>x_1,$$ то $$-\frac35x_2<-\frac35x_1,$$ значит $$-\frac35x_2+4<-\frac35x_1+4.$$ Следовательно, функция убывает.

е) $$y=\frac4x,\quad x<0.$$ Если $$x_2>x_1$$ и $$x_1,x_2<0,$$ то при отрицательных $$x_1$$ и $$x_2$$ имеем $$\frac1{x_2}<\frac1{x_1},$$ значит $$\frac4{x_2}<\frac4{x_1}.$$ Следовательно, функция убывает на $$x<0.$$