Упр.19.5 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) P(A/B); г) P(!B/!A);
б) P(B/A); д) P(!A/B);
в) P(A/!B); е) P(!B/A). Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает:
а) y=x^3+3x; г) y=2x^3+x;
б) y=x^4+x^2, x?0; д) y=3x^4+4x, x?0;
в) y=2x^4+x^3+3x, x?0; е) y=3x^4+2x^2+4x, x?0.

Одну монету бросают трижды. Тогда всего возможных исходов $$2^3=8$$.

Обозначим:

• $$A$$ — выпала хотя бы одна решка;
• $$B$$ — выпал хотя бы один орёл.

Тогда:

• $$\overline{A}$$ — не выпало ни одной решки, то есть выпали только орлы; значит, $$P(\overline{A})=\frac{1}{8}$$;
• $$\overline{B}$$ — не выпало ни одного орла, то есть выпали только решки; значит, $$P(\overline{B})=\frac{1}{8}$$;
• $$A \cap B$$ — выпали и решка, и орёл; значит, $$P(AB)=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$$.

Теперь найдём условные вероятности по формуле $$P(X/Y)=\frac{P(XY)}{P(Y)}$$.

1. $$P(A/B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{8}}=\frac{6}{7}.$$
2. $$P(B/A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{7}{8}}=\frac{6}{7}.$$
3. $$P(A/\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}}=1.$$
4. $$P(\overline{B}/\overline{A})=\frac{P(\overline{B}\,\overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{0}{\frac{1}{8}}=0.$$
5. $$P(\overline{A}/B)=\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{1}{7}.$$
6. $$P(\overline{B}/A)=\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{8}}{\frac{7}{8}}=\frac{1}{7}.$$

Докажем возрастание функций. Пусть $$x_2>x_1$$. Тогда для всех слагаемых с неотрицательными коэффициентами при соответствующих условиях получаем большее значение функции.

1. $$y=x^3+3x$$
   Если $$x_2>x_1$$, то
   $$x_2^3>x_1^3,\quad 3x_2>3x_1,$$
   значит,
   $$x_2^3+3x_2>x_1^3+3x_1.$$
2. $$y=x^4+x^2,\quad x\ge 0$$
   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то
   $$x_2^4>x_1^4,\quad x_2^2>x_1^2,$$
   значит,
   $$x_2^4+x_2^2>x_1^4+x_1^2.$$
3. $$y=2x^4+x^3+3x,\quad x\ge 0$$
   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то
   $$2x_2^4>2x_1^4,\quad x_2^3>x_1^3,\quad 3x_2>3x_1,$$
   значит,
   $$2x_2^4+x_2^3+3x_2>2x_1^4+x_1^3+3x_1.$$
4. $$y=2x^3+x$$
   Если $$x_2>x_1$$, то
   $$x_2^3>x_1^3,\quad 2x_2^3>2x_1^3,\quad x_2>x_1,$$
   значит,
   $$2x_2^3+x_2>2x_1^3+x_1.$$
5. $$y=3x^4+4x,\quad x\ge 0$$
   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то
   $$3x_2^4>3x_1^4,\quad 4x_2>4x_1,$$
   значит,
   $$3x_2^4+4x_2>3x_1^4+4x_1.$$
6. $$y=3x^4+2x^2+4x,\quad x\ge 0$$
   Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то
   $$3x_2^4>3x_1^4,\quad 2x_2^2>2x_1^2,\quad 4x_2>4x_1,$$
   значит,
   $$3x_2^4+2x_2^2+4x_2>3x_1^4+2x_1^2+4x_1.$$

Ответ

а) $$\frac{6}{7}$$; б) $$\frac{6}{7}$$; в) $$1$$; г) $$0$$; д) $$\frac{1}{7}$$; е) $$\frac{1}{7}$$.

Функции во всех пунктах возрастают.