Упр.19.4 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) P(A/B); в) P(A/!B); д) P(!A/B);
б) P(B/A); г) P(!B/!A); е) P(!B/A). Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает:
а) y=-3/x, x>0; г) y=-6/x, x>0;
б) y=-4/(x+1), x>-1; д) y=-2/(x-4), x>4;
в) y=-5/(x-5)+5, x>5; е) y=-1/(x+2)-4, x>-2.

Обозначим:

$$A=\{2,5\}, \qquad B=\{1,3,5\}.$$

Тогда

$$P(A)=\frac{2}{6}=\frac13, \qquad P(B)=\frac{3}{6}=\frac12.$$

Пересечение событий:

$$A\cap B=\{5\}, \qquad P(A\cap B)=\frac16.$$

Дополнения:

$$\overline{A}=\{1,3,4,6\}, \qquad P(\overline{A})=\frac46=\frac23,$$

$$\overline{B}=\{2,4,6\}, \qquad P(\overline{B})=\frac36=\frac12.$$

Теперь найдём условные вероятности:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/6}{1/2}=\frac13,$$

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{1/6}{1/3}=\frac12,$$

$$P(A\mid \overline{B})=\frac{P(A\cap \overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{1/6}{1/2}=\frac13,$$

$$P(\overline{B}\mid \overline{A})=\frac{P(\overline{B}\cap \overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{2/6}{4/6}=\frac12,$$

$$P(\overline{A}\mid B)=\frac{P(\overline{A}\cap B)}{P(B)}=\frac{2/6}{3/6}=\frac23,$$

$$P(\overline{B}\mid A)=\frac{P(\overline{B}\cap A)}{P(A)}=\frac{1/6}{2/6}=\frac12.$$

Докажем, что данные функции возрастают. Пусть $$x_2>x_1$$ и оба значения принадлежат области определения функции.

а) $$y=-\frac{3}{x}, \quad x>0.$$

Так как $$x_2>x_1>0,$$ то

$$\frac{3}{x_2}<\frac{3}{x_1},$$

следовательно,

$$-\frac{3}{x_2}>-\frac{3}{x_1}.$$

б) $$y=-\frac{4}{x+1}, \quad x>-1.$$

Если $$x_2>x_1>-1,$$, то $$x_2+1>x_1+1>0,$$ значит

$$\frac{4}{x_2+1}<\frac{4}{x_1+1},$$

откуда

$$-\frac{4}{x_2+1}>-\frac{4}{x_1+1}.$$

в) $$y=-\frac{5}{x-5}+5, \quad x>5.$$

Если $$x_2>x_1>5,$$, то $$x_2-5>x_1-5>0,$$ значит

$$\frac{5}{x_2-5}<\frac{5}{x_1-5},$$

следовательно,

$$-\frac{5}{x_2-5}>-\frac{5}{x_1-5},$$

а значит,

$$-\frac{5}{x_2-5}+5>-\frac{5}{x_1-5}+5.$$

г) $$y=-\frac{6}{x}, \quad x>0.$$

Если $$x_2>x_1>0,$$, то

$$\frac{6}{x_2}<\frac{6}{x_1},$$

следовательно,

$$-\frac{6}{x_2}>-\frac{6}{x_1}.$$

д) $$y=-\frac{2}{x-4}, \quad x>4.$$

Если $$x_2>x_1>4,$$, то $$x_2-4>x_1-4>0,$$ значит

$$\frac{2}{x_2-4}<\frac{2}{x_1-4},$$

откуда

$$-\frac{2}{x_2-4}>-\frac{2}{x_1-4}.$$

е) $$y=-\frac{1}{x+2}-4, \quad x>-2.$$

Если $$x_2>x_1>-2,$$, то $$x_2+2>x_1+2>0,$$ значит

$$\frac{1}{x_2+2}<\frac{1}{x_1+2},$$

следовательно,

$$-\frac{1}{x_2+2}>-\frac{1}{x_1+2},$$

а значит,

$$-\frac{1}{x_2+2}-4>-\frac{1}{x_1+2}-4.$$

Ответ

а) $$\frac13$$; б) $$\frac12$$; в) $$\frac13$$; г) $$\frac12$$; д) $$\frac23$$; е) $$\frac12$$.

Все данные функции возрастают на указанных промежутках.