Упр.19.3 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Игральный кубик бросают один раз. Для событий $$A$$ — «выпало не менее 2 очков», $$B$$ — «выпало 2, 5 или 6 очков», $$C$$ — «выпало 3 или 6 очков» и $$D$$ — «выпало 4 очка» найдите условную вероятность: а) $$P(A/B)$$; в) $$P(A/C)$$; д) $$P(A/D)$$; б) $$P(A/!B)$$; г) $$P(A/!C)$$; е) $$P(A/!D)$$.
- Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает: а) $$y=\sqrt{x}+1$$; г) $$y=\sqrt{x}-2$$; б) $$y=\sqrt{x-4}$$; д) $$y=\sqrt{x+5}$$; в) $$y=4\cdot\sqrt{x+2}-2$$; е) $$y=6\sqrt{x-4}+4$$.
1) Найдём условные вероятности.
События:
- $$A=\{2,3,4,5,6\}$$
- $$B=\{2,5,6\}$$
- $$C=\{3,6\}$$
- $$D=\{4\}$$
Тогда:
$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{3/6}{3/6}=1$$
$$P(A\mid \overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{2/6}{3/6}=\frac{2}{3}$$
$$P(A\mid C)=\frac{P(AC)}{P(C)}=\frac{2/6}{2/6}=1$$
$$P(A\mid \overline{C})=\frac{P(A\overline{C})}{P(\overline{C})}=\frac{3/6}{4/6}=\frac{3}{4}$$
$$P(A\mid D)=\frac{P(AD)}{P(D)}=\frac{1/6}{1/6}=1$$
$$P(A\mid \overline{D})=\frac{P(A\overline{D})}{P(\overline{D})}=\frac{4/6}{5/6}=\frac{4}{5}$$
2) Докажем, что функция возрастает.
$$y=\sqrt{x}+1$$
Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$$, значит
$$\sqrt{x_2}+1>\sqrt{x_1}+1.$$
$$y=\sqrt{x-4}$$
Если $$x_2>x_1\ge 4$$, то $$x_2-4>x_1-4\ge 0$$, значит
$$\sqrt{x_2-4}>\sqrt{x_1-4}.$$
$$y=4\sqrt{x+2}-2$$
Если $$x_2>x_1\ge -2$$, то $$x_2+2>x_1+2\ge 0$$, значит
$$\sqrt{x_2+2}>\sqrt{x_1+2},$$
следовательно,
$$4\sqrt{x_2+2}-2>4\sqrt{x_1+2}-2.$$
$$y=\sqrt{x}-2$$
Если $$x_2>x_1\ge 0$$, то $$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1}$$, значит
$$\sqrt{x_2}-2>\sqrt{x_1}-2.$$
$$y=\sqrt{x+5}$$
Если $$x_2>x_1\ge -5$$, то $$x_2+5>x_1+5\ge 0$$, значит
$$\sqrt{x_2+5}>\sqrt{x_1+5}.$$
$$y=6\sqrt{x-4}+4$$
Если $$x_2>x_1\ge 4$$, то $$x_2-4>x_1-4\ge 0$$, значит
$$\sqrt{x_2-4}>\sqrt{x_1-4},$$
следовательно,
$$6\sqrt{x_2-4}+4>6\sqrt{x_1-4}+4.$$
Ответ
$$P(A\mid B)=1,\quad P(A\mid \overline{B})=\frac{2}{3},\quad P(A\mid C)=1,\quad P(A\mid \overline{C})=\frac{3}{4},\quad P(A\mid D)=1,\quad P(A\mid \overline{D})=\frac{4}{5}.$$
Функции во всех пунктах возрастают.
