Упр.19.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Найдите все значения параметра р, при которых во множестве решений неравенства (p-2)x+2p-x^2?0 не содержится ни одного натурального числа.

Подробный ответ

а) Рассмотрим неравенство

$$x^2-(p+7)x+7p<0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=(p+7)^2-4\cdot 7p=p^2-14p+49=(p-7)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{p+7\pm (p-7)}{2},$$

откуда

$$x_1=7,\qquad x_2=p.$$

Следовательно,

$$x^2-(p+7)x+7p=(x-7)(x-p),$$

и неравенство принимает вид

$$ (x-7)(x-p)<0.$$

Решения лежат между корнями. Чтобы во множестве решений содержались ровно три натуральных числа, нужно, чтобы между числами $7$ и $p$ было ровно три натуральных числа.

Это возможно в двух случаях:

$$p-7=4 \Rightarrow p=11,$$

или

$$7-p=4 \Rightarrow p=3.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$ (p-2)x+2p-x^2\ge 0.$$

Перепишем его:

$$x^2-(p-2)x-2p\le 0.$$

Найдём корни:

$$D=(p-2)^2+8p=p^2+4p+4=(p+2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{p-2\pm (p+2)}{2},$$

откуда

$$x_1=-2,\qquad x_2=p.$$

Следовательно,

$$ (x+2)(x-p)\le 0.$$

Решения неравенства — отрезок между корнями. Чтобы среди них не было ни одного натурального числа, нужно, чтобы этот отрезок не содержал натуральных чисел.

Это выполняется при

$$p\le -2$$

или при

$$p<1.$$

Итак, получаем

$$p<1.$$