Упр.19.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {(x+y)/(x-y)+6·(x-y)/(x+y)=5, xy=2};
б) {(x+2y)/(x-2y)-3·(x-2y)/(x+2y)=2, xy=4}.

1. а) Обозначим

   $$t=\frac{x+y}{x-y}.$$

   Тогда

   $$t+\frac{6}{t}=5,$$

   откуда

   $$t^2-5t+6=0.$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$t_1=\frac{5-1}{2}=2,\qquad t_2=\frac{5+1}{2}=3.$$

   1) Если $$\frac{x+y}{x-y}=2,$$ то

   $$x+y=2x-2y,$$

   $$x=3y.$$

   Из условия $$xy=2$$ получаем

   $$3y^2=2,\qquad y^2=\frac{2}{3},\qquad y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

   Тогда

   $$x=3y=\pm\sqrt6.$$

   2) Если $$\frac{x+y}{x-y}=3,$$ то

   $$x+y=3x-3y,$$

   $$x=2y.$$

   Из условия $$xy=2$$ получаем

   $$2y^2=2,\qquad y^2=1,\qquad y=\pm1.$$

   Тогда

   $$x=2y=\pm2.$$

   Получаем решения:

   $$(-2;-1),\ (2;1),\ \left(-\sqrt6;-\sqrt{\frac23}\right),\ \left(\sqrt6;\sqrt{\frac23}\right).$$

2. б) Обозначим

   $$t=\frac{x+2y}{x-2y}.$$

   Тогда

   $$t-\frac{3}{t}=2,$$

   откуда

   $$t^2-2t-3=0.$$

   $$D=4+12=16,$$

   $$t_1=\frac{2-4}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{2+4}{2}=3.$$

   1) Если $$\frac{x+2y}{x-2y}=-1,$$ то

   $$x+2y=-(x-2y),$$

   $$x+2y=-x+2y,$$

   $$2x=0,\qquad x=0,$$

   но тогда $$xy=4$$ невозможно. Значит, этот случай не подходит.

   2) Если $$\frac{x+2y}{x-2y}=3,$$ то

   $$x+2y=3x-6y,$$

   $$x=4y.$$

   Из условия $$xy=4$$ получаем

   $$4y^2=4,\qquad y^2=1,\qquad y=\pm1.$$

   Тогда

   $$x=4y=\pm4.$$

   Получаем решения:

   $$(-4;-1),\ (4;1).$$

Ответ

а) $$(-2;-1),\ (2;1),\ \left(-\sqrt6;-\sqrt{\frac23}\right),\ \left(\sqrt6;\sqrt{\frac23}\right).$$

б) $$(-4;-1),\ (4;1).$$