Упр.19.2 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Для событий, описанных в упражнении 19.1, найдите условную вероятность: а) $$P(B/A)$$; в) $$P(C/A)$$; д) $$P(C/D)$$; б) $$P(!B/A)$$; г) $$P(!C/!A)$$; е) $$P(B/C)$$.
2. Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает: а) $$y=(x+1)^2,\ x\geqslant -1$$; б) $$y=(x-2)^2+3,\ x\geqslant 2$$; в) $$y=2(x-3)^2-4,\ x\geqslant 3$$; г) $$y=(x+3)^2,\ x\geqslant -3$$; д) $$y=(x-1)^2-2,\ x\geqslant 1$$; е) $$y=\frac{1}{3}(x+5)^2+4,\ x\geqslant -5$$.

Для событий, указанных в упражнении 19.1, используем формулу условной вероятности:

$$P(X/Y)=\frac{P(XY)}{P(Y)}.$$

В конкурсе участвуют 5 человек:

Иванова Катя, Иванова Лена, Петрова Катя, Сидорова Катя, Ленина Лена.

Обозначим:

• $$B$$ — выберут Лену;
• $$C$$ — выберут Катю;
• $$A$$ — выберут Иванову;
• $$D$$ — выберут не Петрову.

1. $$P(B/A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{1/5}{2/5}=\frac12.$$

2. $$P(\overline{B}/A)=\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}=\frac{1/5}{2/5}=\frac12.$$

3. $$P(C/A)=\frac{P(CA)}{P(A)}=\frac{1/5}{2/5}=\frac12.$$

4. $$P(\overline{C}/\overline{A})=\frac{P(\overline{C}\,\overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{1/5}{3/5}=\frac13.$$

5. $$P(C/D)=\frac{P(CD)}{P(D)}=\frac{2/5}{4/5}=\frac12.$$

6. $$P(B/C)=\frac{P(BC)}{P(C)}=\frac{0}{3/5}=0.$$

Докажем возрастание функций с помощью свойств числовых неравенств. Пусть $$x_2>x_1$$ и оба значения принадлежат области определения функции.

1. $$y=(x+1)^2,\quad x\ge -1.$$

   Если $$x_2>x_1\ge -1$$, то

   $$x_2+1>x_1+1\ge 0,$$

   значит,

   $$(x_2+1)^2>(x_1+1)^2.$$

   Следовательно, функция возрастает.

2. $$y=(x-2)^2+3,\quad x\ge 2.$$

   Если $$x_2>x_1\ge 2$$, то

   $$x_2-2>x_1-2\ge 0,$$

   поэтому

   $$(x_2-2)^2>(x_1-2)^2,$$

   а значит,

   $$(x_2-2)^2+3>(x_1-2)^2+3.$$

3. $$y=2(x-3)^2-4,\quad x\ge 3.$$

   Если $$x_2>x_1\ge 3$$, то

   $$x_2-3>x_1-3\ge 0,$$

   следовательно,

   $$(x_2-3)^2>(x_1-3)^2,$$

   и тогда

   $$2(x_2-3)^2-4>2(x_1-3)^2-4.$$

4. $$y=(x+3)^2,\quad x\ge -3.$$

   Если $$x_2>x_1\ge -3$$, то

   $$x_2+3>x_1+3\ge 0,$$

   значит,

   $$(x_2+3)^2>(x_1+3)^2.$$

5. $$y=(x-1)^2-2,\quad x\ge 1.$$

   Если $$x_2>x_1\ge 1$$, то

   $$x_2-1>x_1-1\ge 0,$$

   поэтому

   $$(x_2-1)^2>(x_1-1)^2,$$

   а значит,

   $$(x_2-1)^2-2>(x_1-1)^2-2.$$

6. $$y=\frac13(x+5)^2+4,\quad x\ge -5.$$

   Если $$x_2>x_1\ge -5$$, то

   $$x_2+5>x_1+5\ge 0,$$

   следовательно,

   $$(x_2+5)^2>(x_1+5)^2,$$

   и после умножения на положительное число $$\frac13$$ получаем

   $$\frac13(x_2+5)^2>\frac13(x_1+5)^2.$$

   Тогда

   $$\frac13(x_2+5)^2+4>\frac13(x_1+5)^2+4.$$

Ответ

$$P(B/A)=\frac12,\quad P(\overline{B}/A)=\frac12,\quad P(C/A)=\frac12,\quad P(\overline{C}/\overline{A})=\frac13,\quad P(C/D)=\frac12,\quad P(B/C)=0.$$

Все указанные функции возрастают на своих областях определения.