Упр.19.2 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) P(B/A); в) P(C/A); д) P(C/D);
б) P(!B/A); г) P(!C/!A); е) P(B/C). Используя свойства числовых неравенств, докажите, что данная функция возрастает:
а) y=(x+1)^2, x?-1;
б) y=(x-2)^2+3, x?2;
в) y=2(x-3)^2-4, x?3;
г) y=(x+3)^2, x?-3;
д) y=(x-1)^2-2, x?1;
е) y=1/3 (x+5)^2+4, x?-5.

Для событий, указанных в упражнении 19.1, используем формулу условной вероятности:

$$P(X/Y)=\frac{P(XY)}{P(Y)}.$$

В конкурсе участвуют 5 человек:

Иванова Катя, Иванова Лена, Петрова Катя, Сидорова Катя, Ленина Лена.

Обозначим:

• $$B$$ — выберут Лену;
• $$C$$ — выберут Катю;
• $$A$$ — выберут Иванову;
• $$D$$ — выберут не Петрову.

1. $$P(B/A)=\frac{P(BA)}{P(A)}=\frac{1/5}{2/5}=\frac12.$$

2. $$P(\overline{B}/A)=\frac{P(\overline{B}A)}{P(A)}=\frac{1/5}{2/5}=\frac12.$$

3. $$P(C/A)=\frac{P(CA)}{P(A)}=\frac{1/5}{2/5}=\frac12.$$

4. $$P(\overline{C}/\overline{A})=\frac{P(\overline{C}\,\overline{A})}{P(\overline{A})}=\frac{1/5}{3/5}=\frac13.$$

5. $$P(C/D)=\frac{P(CD)}{P(D)}=\frac{2/5}{4/5}=\frac12.$$

6. $$P(B/C)=\frac{P(BC)}{P(C)}=\frac{0}{3/5}=0.$$

Докажем возрастание функций с помощью свойств числовых неравенств. Пусть $$x_2>x_1$$ и оба значения принадлежат области определения функции.

1. $$y=(x+1)^2,\quad x\ge -1.$$

   Если $$x_2>x_1\ge -1$$, то

   $$x_2+1>x_1+1\ge 0,$$

   значит,

   $$ (x_2+1)^2>(x_1+1)^2. $$

   Следовательно, функция возрастает.

2. $$y=(x-2)^2+3,\quad x\ge 2.$$

   Если $$x_2>x_1\ge 2$$, то

   $$x_2-2>x_1-2\ge 0,$$

   поэтому

   $$ (x_2-2)^2>(x_1-2)^2, $$

   а значит,

   $$ (x_2-2)^2+3>(x_1-2)^2+3. $$

3. $$y=2(x-3)^2-4,\quad x\ge 3.$$

   Если $$x_2>x_1\ge 3$$, то

   $$x_2-3>x_1-3\ge 0,$$

   следовательно,

   $$ (x_2-3)^2>(x_1-3)^2, $$

   и тогда

   $$ 2(x_2-3)^2-4>2(x_1-3)^2-4. $$

4. $$y=(x+3)^2,\quad x\ge -3.$$

   Если $$x_2>x_1\ge -3$$, то

   $$x_2+3>x_1+3\ge 0,$$

   значит,

   $$ (x_2+3)^2>(x_1+3)^2. $$

5. $$y=(x-1)^2-2,\quad x\ge 1.$$

   Если $$x_2>x_1\ge 1$$, то

   $$x_2-1>x_1-1\ge 0,$$

   поэтому

   $$ (x_2-1)^2>(x_1-1)^2, $$

   а значит,

   $$ (x_2-1)^2-2>(x_1-1)^2-2. $$

6. $$y=\frac13(x+5)^2+4,\quad x\ge -5.$$

   Если $$x_2>x_1\ge -5$$, то

   $$x_2+5>x_1+5\ge 0,$$

   следовательно,

   $$ (x_2+5)^2>(x_1+5)^2, $$

   и после умножения на положительное число $$\frac13$$ получаем

   $$ \frac13(x_2+5)^2>\frac13(x_1+5)^2. $$

   Тогда

   $$ \frac13(x_2+5)^2+4>\frac13(x_1+5)^2+4. $$

Ответ

$$P(B/A)=\frac12,\quad P(\overline{B}/A)=\frac12,\quad P(C/A)=\frac12,\quad P(\overline{C}/\overline{A})=\frac13,\quad P(C/D)=\frac12,\quad P(B/C)=0.$$

Все указанные функции возрастают на своих областях определения.