Упр.19.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}2x^2-4x-3, & \text{если } -2?x<2;\\x-6, & \text{если } x?2.\end{cases}$$

а) Найдите $$f(-3),\ f(-2),\ f(1),\ f(2),\ f(4)$$;
б) постройте график функции $$y=f(x)$$;
в) перечислите свойства функции.

Функция задана формулой

$$f(x)= \begin{cases} 2x^2-4x-3, & -2\le x<2,\\ x-6, & x\ge 2. \end{cases}$$

а) Найдём значения функции:

$$f(-3)\ \text{не существует, так как } -3<-2;$$

$$f(-2)=2\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)-3=8+8-3=13;$$

$$f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1-3=2-4-3=-5;$$

$$f(2)=2-6=-4;$$

$$f(4)=4-6=-2.$$

б) Построим график функции.

На промежутке $$-2\le x<2$$ график задаётся параболой $$y=2x^2-4x-3$$. Её вершина:

$$x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot2}=1,\qquad y_0=f(1)=-5.$$

Значит, вершина параболы — точка $$(1;-5)$$.

В точке $$x=2$$ для первой части функции значение не берётся, поэтому точка $$(2;-3)$$ на параболе выколота.

При $$x\ge 2$$ график — луч прямой $$y=x-6$$, начинающийся в точке $$(2;-4)$$.

в) Свойства функции:

$$D(f)=[-2;+\infty)$$

$$E(f)=[-5;+\infty)$$

Функция убывает на $$[-2;1]$$, возрастает на $$[1;2)$$ и $$[2;+\infty)$$.

Наименьшее значение функции равно $$-5$$ и достигается при $$x=1$$.

Нули функции:

$$2x^2-4x-3=0$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}.$$

Из них в первую часть области определения попадает только

$$x=1-\frac{\sqrt{10}}{2}.$$

Во второй части:

$$x-6=0 \Rightarrow x=6.$$

Следовательно, функция положительна при $$x\in\left[-2;1-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\cup(6;+\infty)$$ и отрицательна при $$x\in\left(1-\frac{\sqrt{10}}{2};6\right).$$

Ответ

$$f(-3)\ \text{не существует},\quad f(-2)=13,\quad f(1)=-5,\quad f(2)=-4,\quad f(4)=-2.$$

$$D(f)=[-2;+\infty),\quad E(f)=[-5;+\infty).$$

Функция убывает на $$[-2;1]$$, возрастает на $$[1;2)$$ и $$[2;+\infty)$$, наименьшее значение равно $$-5$$ при $$x=1$$.