Упр.19.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) Найдите f(-3), f(-2), f(1), f(2), f(4);
б) постройте график функции y=f(x);
в) перечислите свойства функции.

Функция задана формулой

$$ f(x)= \begin{cases} 2x^2-4x-3, & -2\le x<2,\\ x-6, & x\ge 2. \end{cases} $$

а) Найдём значения функции:

$$ f(-3)\ \text{не существует, так как } -3<-2; $$

$$ f(-2)=2\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)-3=8+8-3=13; $$

$$ f(1)=2\cdot1^2-4\cdot1-3=2-4-3=-5; $$

$$ f(2)=2-6=-4; $$

$$ f(4)=4-6=-2. $$

б) Построим график функции.

На промежутке $$-2\le x<2$$ график задаётся параболой $$y=2x^2-4x-3$$. Её вершина:

$$ x_0=\frac{-(-4)}{2\cdot2}=1,\qquad y_0=f(1)=-5. $$

Значит, вершина параболы — точка $$ (1;-5) $$.

В точке $$x=2$$ для первой части функции значение не берётся, поэтому точка $$ (2;-3) $$ на параболе выколота.

При $$x\ge 2$$ график — луч прямой $$y=x-6$$, начинающийся в точке $$ (2;-4) $$.

в) Свойства функции:

$$ D(f)=[-2;+\infty) $$

$$ E(f)=[-5;+\infty) $$

Функция убывает на $$[-2;1]$$, возрастает на $$[1;2)$$ и $$[2;+\infty)$$.

Наименьшее значение функции равно $$-5$$ и достигается при $$x=1$$.

Нули функции:

$$ 2x^2-4x-3=0 $$

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{16+24}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{10}}{2}. $$

Из них в первую часть области определения попадает только

$$ x=1-\frac{\sqrt{10}}{2}. $$

Во второй части:

$$ x-6=0 \Rightarrow x=6. $$

Следовательно, функция положительна при $$x\in\left[-2;1-\frac{\sqrt{10}}{2}\right)\cup(6;+\infty)$$ и отрицательна при $$x\in\left(1-\frac{\sqrt{10}}{2};6\right).$$

Ответ

$$ f(-3)\ \text{не существует},\quad f(-2)=13,\quad f(1)=-5,\quad f(2)=-4,\quad f(4)=-2. $$

$$ D(f)=[-2;+\infty),\quad E(f)=[-5;+\infty). $$

Функция убывает на $$[-2;1]$$, возрастает на $$[1;2)$$ и $$[2;+\infty)$$, наименьшее значение равно $$-5$$ при $$x=1$$.