Упр.18.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Найдите сумму первых ста членов арифметической прогрессии, если сумма двадцать шестого и сорок первого членов равна 160, а разность двадцатого и десятого членов — 40.

а) Двузначные числа, большие 25, и дающие при делении на 5 остаток 2, образуют арифметическую прогрессию:

$$27,\ 32,\ 37,\ \ldots,\ 97$$

Здесь $$a_1=27$$, $$d=5$$, $$a_n=97$$.

Найдём число членов прогрессии:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

$$97=27+5(n-1)$$

$$97=27+5n-5$$

$$5n=75$$

$$n=15$$

Тогда сумма первых 15 членов:

$$S_{15}=\frac{a_1+a_{15}}{2}\cdot 15=\frac{27+97}{2}\cdot 15$$

$$S_{15}=62\cdot 15=930$$

б) Пусть $$a_1$$ — первый член, $$d$$ — разность прогрессии. Тогда:

$$a_{26}+a_{41}=160,\qquad a_{20}-a_{10}=40$$

Из второго уравнения:

$$\left(a_1+19d\right)-\left(a_1+9d\right)=40$$

$$10d=40$$

$$d=4$$

Подставим в первое уравнение:

$$\left(a_1+25d\right)+\left(a_1+40d\right)=160$$

$$2a_1+65d=160$$

$$2a_1+260=160$$

$$2a_1=-100$$

$$a_1=-50$$

Теперь найдём сумму первых 100 членов:

$$S_{100}=\frac{2a_1+99d}{2}\cdot 100=50(2a_1+99d)$$

$$S_{100}=50(-100+396)=50\cdot 296=14800$$

Ответ

а) $$930$$; б) $$14800$$.