Упр.18.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) {a^2+b^2=29, a^2-2b^2=17};
б) {3a^2+2b^2=45,5, 5a^2-4b^2=8};
в) {2a^2+b^2=43, a^2-b^2=-16};
г) {2a^2+5b^2=223, 5a^2-3b^2=170}.

1. а)

   $$\begin{cases} a^2+b^2=29,\\ a^2-2b^2=17. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$a^2=29-b^2.$$
   Подставим во второе:
   $$29-b^2-2b^2=17,$$
   $$3b^2=12,$$
   $$b^2=4.$$
   Тогда
   $$a^2=29-4=25.$$
   Значит,
   $$a=\pm 5,\quad b=\pm 2.$$

   Ответ:
   $$( -5;\,-2),\;(-5;\,2),\;(5;\,-2),\;(5;\,2).$$

2. б)

   $$\begin{cases} 3a^2+2b^2=45{,}5,\\ 5a^2-4b^2=8. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$2b^2=45{,}5-3a^2,$$
   $$b^2=22{,}75-1{,}5a^2.$$
   Подставим во второе:
   $$5a^2-4(22{,}75-1{,}5a^2)=8,$$
   $$5a^2-91+6a^2=8,$$
   $$11a^2=99,$$
   $$a^2=9.$$
   Тогда
   $$b^2=22{,}75-1{,}5\cdot 9=22{,}75-13{,}5=\frac{37}{4}.$$
   Следовательно,
   $$a=\pm 3,\quad b=\pm \frac{\sqrt{37}}{2}.$$

   Ответ:
   $$( -3;\,-\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(-3;\,\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(3;\,-\frac{\sqrt{37}}{2}),\;(3;\,\frac{\sqrt{37}}{2}).$$

3. в)

   $$\begin{cases} 2a^2+b^2=43,\\ a^2-b^2=-16. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$b^2=43-2a^2.$$
   Подставим во второе:
   $$a^2-(43-2a^2)=-16,$$
   $$3a^2=27,$$
   $$a^2=9.$$
   Тогда
   $$b^2=43-2\cdot 9=25.$$
   Значит,
   $$a=\pm 3,\quad b=\pm 5.$$

   Ответ:
   $$( -3;\,-5),\;(-3;\,5),\;(3;\,-5),\;(3;\,5).$$

4. г)

   $$\begin{cases} 2a^2+5b^2=223,\\ 5a^2-3b^2=170. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$2a^2=223-5b^2,$$
   $$a^2=111{,}5-2{,}5b^2.$$
   Подставим во второе:
   $$5(111{,}5-2{,}5b^2)-3b^2=170,$$
   $$557{,}5-12{,}5b^2-3b^2=170,$$
   $$15{,}5b^2=387{,}5,$$
   $$b^2=25.$$
   Тогда
   $$a^2=111{,}5-2{,}5\cdot 25=49.$$
   Следовательно,
   $$a=\pm 7,\quad b=\pm 5.$$

   Ответ:
   $$( -7;\,-5),\;(-7;\,5),\;(7;\,-5),\;(7;\,5).$$