Упр.18.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

а) $$\left(\frac{1+\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}+1\right)\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)$$;

б) $$\left(1+\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\right)\left(\sqrt{a^2+1}-a\right)$$.

а)

$$\left(1+\frac{\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}+1\right)\cdot\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)$$

Сложим слагаемые в первой скобке:
$$1+\frac{\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}+1 = \frac{1+\sqrt{1-a^2}+1-\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}} = \frac{2}{1-\sqrt{1-a^2}}.$$

Тогда
$$\frac{2}{1-\sqrt{1-a^2}}\cdot\left(1+\sqrt{1-a^2}\right) = \frac{2\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)}{1-\sqrt{1-a^2}}.$$

б)

$$\left(1+\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\right)\cdot\left(\sqrt{a^2+1}-a\right)$$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:
$$1+\frac{a}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{\sqrt{a^2+1}+a}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Тогда
$$\frac{\sqrt{a^2+1}+a}{\sqrt{a^2+1}}\cdot\left(\sqrt{a^2+1}-a\right) = \frac{(\sqrt{a^2+1}+a)(\sqrt{a^2+1}-a)}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Используем формулу разности квадратов:
$$(\sqrt{a^2+1}+a)(\sqrt{a^2+1}-a)=(a^2+1)-a^2=1.$$

Значит,
$$\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}.$$

Ответ

а) $$\frac{2\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)}{1-\sqrt{1-a^2}}$$; б) $$\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$.