Упр.18.19 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) ((1+v(1-a^2)/(1-v(1-a^2)+1)·(1+v(1-a^2));
б) (1+a/v(a^2+1))·(v(a^2+1)-a).

а)

$$ \left(1+\frac{\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}+1\right)\cdot\left(1+\sqrt{1-a^2}\right) $$

Сложим слагаемые в первой скобке:
$$ 1+\frac{\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}}+1 = \frac{1+\sqrt{1-a^2}+1-\sqrt{1-a^2}}{1-\sqrt{1-a^2}} = \frac{2}{1-\sqrt{1-a^2}}. $$

Тогда
$$ \frac{2}{1-\sqrt{1-a^2}}\cdot\left(1+\sqrt{1-a^2}\right) = \frac{2\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)}{1-\sqrt{1-a^2}}. $$

б)

$$ \left(1+\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\right)\cdot\left(\sqrt{a^2+1}-a\right) $$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:
$$ 1+\frac{a}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{\sqrt{a^2+1}+a}{\sqrt{a^2+1}}. $$

Тогда
$$ \frac{\sqrt{a^2+1}+a}{\sqrt{a^2+1}}\cdot\left(\sqrt{a^2+1}-a\right) = \frac{(\sqrt{a^2+1}+a)(\sqrt{a^2+1}-a)}{\sqrt{a^2+1}}. $$

Используем формулу разности квадратов:
$$ (\sqrt{a^2+1}+a)(\sqrt{a^2+1}-a)=(a^2+1)-a^2=1. $$

Значит,
$$ \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}. $$

Ответ

а) $$\frac{2\left(1+\sqrt{1-a^2}\right)}{1-\sqrt{1-a^2}}$$; б) $$\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}$$.