Упр.18.16 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) 3x^2-20x-63?0; в) 5x^2-46x+77?0;
б) 7/(4+3x^2-x^4)?0; г) 11/(36+5x^2-x^4)?0.

Подробный ответ

а) $$3x^2-20x-63\ge 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-20)^2-4\cdot 3\cdot(-63)=400+756=1156,$$
$$x_{1,2}=\frac{20\pm 34}{2\cdot 3}.$$
Тогда
$$x_1=-\frac{7}{3},\qquad x_2=9.$$
Разложим на множители:
$$3x^2-20x-63=3\left(x+\frac{7}{3}\right)(x-9).$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то
$$x\le -\frac{7}{3}\quad \text{или}\quad x\ge 9.$$
б) $$\frac{7}{4+3x^2-x^4}\ge 0$$
Числитель положителен, значит дробь неотрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель положителен:
$$4+3x^2-x^4>0.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^4-3x^2-4<0.$$
Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-3t-4<0,$$
$$t^2-3t-4=(t-4)(t+1).$$
Получаем
$$-1<t<4.$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ то
$$0\le x^2<4,$$
откуда
$$-2<x<2.$$
в) $$5x^2-46x+77\le 0$$
Найдём корни:
$$D=(-46)^2-4\cdot 5\cdot 77=2116-1540=576,$$
$$x_{1,2}=\frac{46\pm 24}{2\cdot 5}.$$
Тогда
$$x_1=\frac{22}{10}=2{,}2,\qquad x_2=\frac{70}{10}=7.$$
Разложим на множители:
$$5x^2-46x+77=5(x-2{,}2)(x-7).$$
Поскольку ветви параболы направлены вверх, то
$$2{,}2\le x\le 7.$$
г) $$\frac{11}{36+5x^2-x^4}\le 0$$
Числитель положителен, значит дробь не может быть отрицательной; для выполнения неравенства нужно, чтобы знаменатель был отрицателен:
$$36+5x^2-x^4<0.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$x^4-5x^2-36>0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-5t-36>0,$$
$$t^2-5t-36=(t-9)(t+4).$$
Следовательно,
$$t<-4 \quad \text{или}\quad t>9.$$
Так как $$t=x^2\ge 0,$$ остаётся
$$x^2>9,$$
то есть
$$x<-3\quad \text{или}\quad x>3.$$