Упр.18.14 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) и умный, и красивый;
б) умный, но не красивый;
в) красивый, но не умный;
г) и красивый, и слишком умный;
д) и красивый, и умный (но не слишком);
е) умён (но не слишком) и не красив? Решите неравенство:
а) (x-3)(x+1)(x-6)?0; в) (x+2)(x+4)(x-5)?0;
б) (x+3)(x-5)v(x+1)?0; г) (x-3)(x+6)v(x-2)?0.

Обозначим:

$$A$$ — красивые ученики, $$B$$ — умные, $$C$$ — слишком умные.

Из условия:

$$|A|=22,\quad |B|=20,\quad |C|=10,\quad |B\cap C|=10,\quad |A\cap C|=5.$$

Так как в классе 30 учеников и каждый ученик либо красивый, либо умный, то

$$|A\cup B|=30.$$

По формуле включений и исключений:

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|,$$

откуда

$$30=22+20-|A\cap B|,$$

$$|A\cap B|=12.$$

Тогда:

1. и умный, и красивый:

   $$P(A\cap B)=\frac{12}{30}=\frac25.$$

2. умный, но не красивый:

   $$|B\setminus A|=|B|-|A\cap B|=20-12=8,$$

   $$P(B\setminus A)=\frac{8}{30}=\frac{4}{15}.$$

3. красивый, но не умный:

   $$|A\setminus B|=|A|-|A\cap B|=22-12=10,$$

   $$P(A\setminus B)=\frac{10}{30}=\frac13.$$

4. и красивый, и слишком умный:

   $$P(A\cap C)=\frac{5}{30}=\frac16.$$

5. и красивый, и умный, но не слишком:

   $$P(A\cap B)=\frac{12}{30}=\frac25.$$

6. умён, но не слишком, и не красив:

   Сначала найдём число умных, но не слишком умных:

   $$|B\setminus C|=|B|-|B\cap C|=20-10=10.$$

   Из них красивых и не слишком умных:

   $$|A\cap (B\setminus C)|=|A\cap B|-|A\cap B\cap C|.$$

   Так как все слишком умные входят в умных, а среди них красивых 5, то

   $$|A\cap B\cap C|=5.$$

   Следовательно,

   $$|A\cap (B\setminus C)|=12-5=7,$$

   и тогда

   $$|(B\setminus C)\setminus A|=10-7=3.$$

   Значит,

   $$P((B\setminus C)\setminus A)=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}.$$

Ответ

а) $$\frac25$$; б) $$\frac{4}{15}$$; в) $$\frac13$$; г) $$\frac16$$; д) $$\frac25$$; е) $$\frac{1}{10}$$.

Ход решения

а) $$\left(x-3\right)\left(x+1\right)\left(x-6\right)\le 0.$$

Нули: $$x=-1,\; x=3,\; x=6.$$ Знак произведения меняется при переходе через каждый корень. Получаем

$$(-\infty;-1]\cup[3;6].$$

б) $$\left(x+3\right)\left(x-5\right)\sqrt{x+1}\ge 0.$$

Область определения: $$x+1\ge 0,$$ то есть $$x\ge -1.$$

Так как $$\sqrt{x+1}\ge 0,$$ то неравенство выполняется, когда

$$\left(x+3\right)\left(x-5\right)\ge 0,$$

при $$x\ge -1.$$ Тогда

$$x\le -3 \;\text{или}\; x\ge 5,$$

и с учётом ОДЗ:

$$[5;+\infty).$$

Точка $$x=-1$$ тоже подходит, так как обращает корень в нуль.

Итак,

$$\{-1\}\cup[5;+\infty).$$

в) $$\left(x+2\right)\left(x+4\right)\left(x-5\right)\ge 0.$$

Нули: $$x=-4,\; x=-2,\; x=5.$$ Тогда

$$[-4;-2]\cup[5;+\infty).$$

г) $$\left(x-3\right)\left(x+6\right)\sqrt{x-2}\le 0.$$

Область определения: $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2.$$

Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то нужно, чтобы

$$\left(x-3\right)\left(x+6\right)\le 0.$$

Это выполняется при

$$-6\le x\le 3.$$

С учётом ОДЗ получаем

$$[2;3].$$

Ответ

а) $$(-\infty;-1]\cup[3;6]$$; б) $$\{-1\}\cup[5;+\infty)$$; в) $$[-4;-2]\cup[5;+\infty)$$; г) $$[2;3]$$.