Упр.18.13 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) P(A)=0,5, P(B)=0,7, P(AB)=0,4;
б) P(A)=0,5, P(B)=0,7, P(A+B)=0,9;
в) P(A)=0,9, P(B)=0,7, P(AB)=0,65;
г) P(A)=0,9, P(B)=0,7, P(A+B)=0,94;
д) P(A)=0,1, P(B)=0,2, P(AB)=0;
е) P(A)=0,01, P(B)=0,09, P(A+B)=0,1. Найдите все значения параметра р, при которых уравнение имеет действительные корни:
а) (2-3p)x^2-4x-p=0; б) (1-2p)x^2-6x-2p=0.
Используем формулу:
$$P(A)+P(B)=P(A+B)+P(AB).$$
Тогда недостающее значение находим по этой формуле.
а) $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0{,}5+0{,}7-0{,}4=0{,}8.$$
б) $$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0{,}5+0{,}7-0{,}9=0{,}3.$$
в) $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0{,}9+0{,}7-0{,}65=0{,}95.$$
г) $$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0{,}9+0{,}7-0{,}94=0{,}66.$$
д) $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0{,}1+0{,}2-0=0{,}3.$$
е) $$P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0{,}01+0{,}09-0{,}1=0.$$
Теперь найдём значения параметра $$p$$, при которых квадратное уравнение имеет действительные корни. Для этого дискриминант должен быть неотрицательным.
а) $$ (2-3p)x^2-4x-p=0.$$
$$D=(-4)^2-4(2-3p)(-p)\ge 0.$$
$$16+8p-12p^2\ge 0.$$
$$3p^2-2p-4\le 0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_p=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=52,$$
$$p_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{52}}{6}=\frac{2\pm 2\sqrt{13}}{6}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{3}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$\frac{1-\sqrt{13}}{3}\le p\le \frac{1+\sqrt{13}}{3}.$$
б) $$ (1-2p)x^2-6x-2p=0.$$
$$D=(-6)^2-4(1-2p)(-2p)\ge 0.$$
$$36+8p-16p^2\ge 0.$$
$$4p^2-2p-9\le 0.$$
Найдём корни:
$$D_p=(-2)^2-4\cdot 4\cdot(-9)=148,$$
$$p_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{148}}{8}=\frac{2\pm 2\sqrt{37}}{8}=\frac{1\pm\sqrt{37}}{4}.$$
Следовательно,
$$\frac{1-\sqrt{37}}{4}\le p\le \frac{1+\sqrt{37}}{4}.$$
Ответ
а) $$0{,}8$$; б) $$0{,}3$$; в) $$0{,}95$$; г) $$0{,}66$$; д) $$0{,}3$$; е) $$0$$.
а) $$p\in\left[\frac{1-\sqrt{13}}{3};\frac{1+\sqrt{13}}{3}\right]$$; б) $$p\in\left[\frac{1-\sqrt{37}}{4};\frac{1+\sqrt{37}}{4}\right].$$
