Упр.17.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Решите уравнение:
а) $$(n+1)! = 3n!$$;
б) $$(k-1)! = 4(k-2)!$$;
в) $$(m-5)! = 7(m-6)!$$;
г) $$x! + 7(x-1)! = 66$$;
д) $$(y-2)! = 90(y-4)!$$;
е) $$(z+3)! = 210z!$$. - Найдите (естественную) область определения данной функции:
а) $$y=\frac{x^2}{\sqrt{20-7x-3x^2}}$$;
б) $$y=\sqrt{\frac{3x-1}{2x+5}}$$;
в) $$y=\frac{\sqrt{5x-11}}{\sqrt{3x+4}}$$;
г) $$y=\frac{-3x^2}{\sqrt{15-4x^2-4x}}$$;
д) $$y=\sqrt{\frac{7x-14}{3x-12}}$$;
е) $$y=\frac{\sqrt{8x-15}}{\sqrt{4x-7}}$$.
а) $$(n+1)! = 3n!$$
$$(n+1)n! = 3n!$$
$$n+1=3,\quad n=2$$
$$\text{Ответ: } 2$$
б) $$(k-1)! = 4(k-2)!$$
$$(k-1)(k-2)! = 4(k-2)!$$
$$k-1=4,\quad k=5$$
$$\text{Ответ: } 5$$
в) $$(m-5)! = 7(m-6)!$$
$$(m-5)(m-6)! = 7(m-6)!$$
$$m-5=7,\quad m=12$$
$$\text{Ответ: } 12$$
г) $$x!+7(x-1)! = 66$$
$$x(x-1)!+7(x-1)! = 66$$
$$(x+7)(x-1)! = 66$$
Проверим натуральные значения. При $$x=4$$:
$$4!+7\cdot 3! = 24+42 = 66$$
$$\text{Ответ: } 4$$
д) $$(y-2)! = 90(y-4)!$$
$$(y-2)(y-3)(y-4)! = 90(y-4)!$$
$$(y-2)(y-3)=90$$
$$y^2-5y+6=90$$
$$y^2-5y-84=0$$
$$D=25+336=361$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 19}{2}$$
$$y_1=-7,\quad y_2=12$$
Так как аргументы факториалов должны быть натуральными, подходит только $$y=12$$.
$$\text{Ответ: } 12$$
е) $$(z+3)! = 210z!$$
$$(z+3)(z+2)(z+1)z! = 210z!$$
$$(z+3)(z+2)(z+1)=210$$
Проверим натуральные значения. При $$z=4$$:
$$7\cdot 6\cdot 5 = 210$$
$$\text{Ответ: } 4$$
а) $$y=\frac{x^2}{\sqrt{20-7x-3x^2}}$$
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$20-7x-3x^2>0$$
$$3x^2+7x-20<0$$
$$D=49+240=289$$
$$x_{1,2}=\frac{-7\pm 17}{6}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac{5}{3}$$
$$D(x)=\left(-4;\frac{5}{3}\right)$$
б) $$y=\sqrt{\frac{3x-1}{2x+5}}$$
Нужно, чтобы
$$\frac{3x-1}{2x+5}\ge 0,\quad 2x+5\ne 0$$
Критические точки: $$x=-\frac{5}{2}$$ и $$x=\frac{1}{3}$$.
Знак дроби неотрицателен на промежутках
$$(-\infty;-\tfrac{5}{2})\cup\left[\tfrac{1}{3};+\infty\right)$$
$$D(x)=(-\infty;-\tfrac{5}{2})\cup\left[\tfrac{1}{3};+\infty\right)$$
в) $$y=\frac{\sqrt{5x-11}}{\sqrt{3x+4}}$$
Требуется:
$$5x-11\ge 0,\quad 3x+4>0$$
$$x\ge \frac{11}{5},\quad x>-\frac{4}{3}$$
Пересечение условий:
$$D(x)=\left[\frac{11}{5};+\infty\right)$$
г) $$y=\frac{-3x^2}{\sqrt{15-4x^2-4x}}$$
Нужно:
$$15-4x^2-4x>0$$
$$4x^2+4x-15<0$$
$$D=16+240=256$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 16}{8}$$
$$x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=\frac{3}{2}$$
$$D(x)=\left(-\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$$
д) $$y=\sqrt{\frac{7x-14}{3x-12}}$$
Требуется:
$$\frac{7x-14}{3x-12}\ge 0,\quad x\ne 4$$
$$\frac{7(x-2)}{3(x-4)}\ge 0$$
Знак дроби неотрицателен при
$$x\in(-\infty;2]\cup(4;+\infty)$$
$$D(x)=(-\infty;2]\cup(4;+\infty)$$
е) $$y=\frac{\sqrt{8x-15}}{\sqrt{4x-7}}$$
Нужно:
$$8x-15\ge 0,\quad 4x-7>0$$
$$x\ge \frac{15}{8},\quad x>\frac{7}{4}$$
Пересечение условий:
$$D(x)=\left[\frac{15}{8};+\infty\right)$$
Ответ
а) $$2$$; б) $$5$$; в) $$12$$; г) $$4$$; д) $$12$$; е) $$4$$.
а) $$\left(-4;\frac{5}{3}\right)$$; б) $$(-\infty;-\frac{5}{2})\cup\left[\frac{1}{3};+\infty\right)$$; в) $$\left[\frac{11}{5};+\infty\right)$$; г) $$\left(-\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$$; д) $$(-\infty;2]\cup(4;+\infty)$$; е) $$\left[\frac{15}{8};+\infty\right)$$.
