Упр.17.8 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) (n+1)!=3n!; г) x!+7(x-1)!=66;
б) (k-1)!=4(k-2)!; д) (y-2)!=90(y-4)!;
в) (m-5)!=7(m-6)!; е) (z+3)!=210z!. Найдите (естественную) область определения данной функции:
а) y=x^2/v(20-7x-3x^2); г) y=-3x^2/v(15-4x^2-4x);
б) y=v((3x-1)/(2x+5)); д) y=v((7x-14)/(3x-12));
в) y=v(5x-11)/v(3x+4); е) y=v(8x-15)/v(4x-7).
а) $$ (n+1)! = 3n! $$
$$ (n+1)n! = 3n! $$
$$ n+1=3,\quad n=2 $$
$$ \text{Ответ: } 2 $$
б) $$ (k-1)! = 4(k-2)! $$
$$ (k-1)(k-2)! = 4(k-2)! $$
$$ k-1=4,\quad k=5 $$
$$ \text{Ответ: } 5 $$
в) $$ (m-5)! = 7(m-6)! $$
$$ (m-5)(m-6)! = 7(m-6)! $$
$$ m-5=7,\quad m=12 $$
$$ \text{Ответ: } 12 $$
г) $$ x!+7(x-1)! = 66 $$
$$ x(x-1)!+7(x-1)! = 66 $$
$$ (x+7)(x-1)! = 66 $$
Проверим натуральные значения. При $$x=4$$:
$$ 4!+7\cdot 3! = 24+42 = 66 $$
$$ \text{Ответ: } 4 $$
д) $$ (y-2)! = 90(y-4)! $$
$$ (y-2)(y-3)(y-4)! = 90(y-4)! $$
$$ (y-2)(y-3)=90 $$
$$ y^2-5y+6=90 $$
$$ y^2-5y-84=0 $$
$$ D=25+336=361 $$
$$ y_{1,2}=\frac{5\pm 19}{2} $$
$$ y_1=-7,\quad y_2=12 $$
Так как аргументы факториалов должны быть натуральными, подходит только $$y=12$$.
$$ \text{Ответ: } 12 $$
е) $$ (z+3)! = 210z! $$
$$ (z+3)(z+2)(z+1)z! = 210z! $$
$$ (z+3)(z+2)(z+1)=210 $$
Проверим натуральные значения. При $$z=4$$:
$$ 7\cdot 6\cdot 5 = 210 $$
$$ \text{Ответ: } 4 $$
Ход решения
а) $$ y=\frac{x^2}{\sqrt{20-7x-3x^2}} $$
Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$ 20-7x-3x^2>0 $$
$$ 3x^2+7x-20<0 $$
$$ D=49+240=289 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-7\pm 17}{6} $$
$$ x_1=-4,\quad x_2=\frac{5}{3} $$
$$ D(x)=\left(-4;\frac{5}{3}\right) $$
б) $$ y=\sqrt{\frac{3x-1}{2x+5}} $$
Нужно, чтобы
$$ \frac{3x-1}{2x+5}\ge 0,\quad 2x+5\ne 0 $$
Критические точки: $$x=-\frac{5}{2}$$ и $$x=\frac{1}{3}$$.
Знак дроби неотрицателен на промежутках
$$ (-\infty;-\tfrac{5}{2})\cup\left[\tfrac{1}{3};+\infty\right) $$
$$ D(x)=(-\infty;-\tfrac{5}{2})\cup\left[\tfrac{1}{3};+\infty\right) $$
в) $$ y=\frac{\sqrt{5x-11}}{\sqrt{3x+4}} $$
Требуется:
$$ 5x-11\ge 0,\quad 3x+4>0 $$
$$ x\ge \frac{11}{5},\quad x>-\frac{4}{3} $$
Пересечение условий:
$$ D(x)=\left[\frac{11}{5};+\infty\right) $$
г) $$ y=\frac{-3x^2}{\sqrt{15-4x^2-4x}} $$
Нужно:
$$ 15-4x^2-4x>0 $$
$$ 4x^2+4x-15<0 $$
$$ D=16+240=256 $$
$$ x_{1,2}=\frac{-4\pm 16}{8} $$
$$ x_1=-\frac{5}{2},\quad x_2=\frac{3}{2} $$
$$ D(x)=\left(-\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right) $$
д) $$ y=\sqrt{\frac{7x-14}{3x-12}} $$
Требуется:
$$ \frac{7x-14}{3x-12}\ge 0,\quad x\ne 4 $$
$$ \frac{7(x-2)}{3(x-4)}\ge 0 $$
Знак дроби неотрицателен при
$$ x\in(-\infty;2]\cup(4;+\infty) $$
$$ D(x)=(-\infty;2]\cup(4;+\infty) $$
е) $$ y=\frac{\sqrt{8x-15}}{\sqrt{4x-7}} $$
Нужно:
$$ 8x-15\ge 0,\quad 4x-7>0 $$
$$ x\ge \frac{15}{8},\quad x>\frac{7}{4} $$
Пересечение условий:
$$ D(x)=\left[\frac{15}{8};+\infty\right) $$
Ответ
а) $$2$$; б) $$5$$; в) $$12$$; г) $$4$$; д) $$12$$; е) $$4$$.
а) $$\left(-4;\frac{5}{3}\right)$$; б) $$(-\infty;-\frac{5}{2})\cup\left[\frac{1}{3};+\infty\right)$$; в) $$\left[\frac{11}{5};+\infty\right)$$; г) $$\left(-\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$$; д) $$(-\infty;2]\cup(4;+\infty)$$; е) $$\left[\frac{15}{8};+\infty\right)$$.
