Упр.17.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$. Найдите $$a_{10}+a_{20}$$, если $$a_{11}+a_{13}=34$$ и $$a_{21}+a_{23}=94$$.
   б) Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$. Найдите $$a_{15}+a_{30}$$, если $$a_{14}+a_{16}=-18$$ и $$a_{27}+a_{29}=34$$.
2. Решите неравенство:
   а) $$(x^2-1)v(x-2)?0$$;
   б) $$(x^2-4)v(x-5)?0$$.

а) Для арифметической прогрессии сумма двух членов, равноудалённых от одного и того же среднего члена, равна удвоенному среднему члену:

$$a_{11}+a_{13}=34 \Rightarrow a_{12}=\frac{34}{2}=17,$$
$$a_{21}+a_{23}=94 \Rightarrow a_{22}=\frac{94}{2}=47.$$

Так как $$a_{22}=a_{12}+10d,$$ то

$$47=17+10d,$$
$$10d=30,\quad d=3.$$

Тогда

$$a_{10}+a_{20}=(a_{12}-d)+(a_{12}+d)=2a_{12}=34.$$

б)

$$a_{14}+a_{16}=-18 \Rightarrow a_{15}=\frac{-18}{2}=-9,$$
$$a_{27}+a_{29}=34 \Rightarrow a_{28}=\frac{34}{2}=17.$$

Разность прогрессии найдём из равенства

$$a_{28}=a_{15}+13d,$$
$$17=-9+13d,$$
$$13d=26,\quad d=2.$$

Тогда

$$a_{15}+a_{30}=a_{15}+(a_{15}+15d)=2a_{15}+15d=-18+30=12.$$

Решим неравенства.

а)

$$(x^2-1)\sqrt{x-2}\ge 0.$$

Область определения:

$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2.$$

Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то неравенство выполняется при

$$x^2-1\ge 0.$$

Но с учётом области определения $$x\ge 2$$ это условие выполняется автоматически. Значит,

$$x\in[2;+\infty).$$

б)

$$(x^2-4)\sqrt{x-5}\le 0.$$

Область определения:

$$x-5\ge 0,\quad x\ge 5.$$

При $$x\ge 5$$ имеем $$x^2-4>0,$$ поэтому для выполнения неравенства нужно, чтобы

$$\sqrt{x-5}=0.$$

Отсюда

$$x=5.$$

Ответ

а) $$52$$; б) $$12$$; а) $$[2;+\infty)$$; б) $$\{5\}$$.